Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線AD交BC于E，交△ABC的外接圓⊙O于D.

(1)求證：△ABE∽△ADC；

(2)連接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于點F，若點F恰好是OD的中點．求證：四邊形OBDC是菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據圓周角定理求出，根據相似三角形的判定推出即可；

（2）根據垂徑定理求出，根據線段垂直平分線性質得出，，根據菱形的判定推出即可.

證明：(1)∵∠BAC的平分線為AD，

∴∠BAE＝∠CAD，

，

∴△ABE∽△ADC；

(2)∵∠BAD＝∠CAD，

∴＝，

∵OD為半徑，

∴DO⊥BC（垂徑定理），

∵F為OD的中點，

∴OB＝BD，OC＝CD，

OB＝OC，

∴OB＝BD＝CD＝OC，

∴四邊形OBDC是菱形．