Question

在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點，把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉中心，旋轉三角尺，三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點A、B．
 
（1）求證：MA=MB；
（2）連接AB，探究：在旋轉三角尺的過程中，△AOB的周長是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）連接OM，由Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點可得OM=PM=PQ=2，∠POM=∠BOM=∠P=45° ，即得∠PMA=∠OMB，則可證得△PMA≌△OMB，問題得證；（2）存在，4+2．

試題分析：（1）連接OM，由Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點可得OM=PM=PQ=2，∠POM=∠BOM=∠P=45° ，即得∠PMA=∠OMB，則可證得△PMA≌△OMB，問題得證；
（2）根據全等三角形的性質可得PA=OB，則OA+OB=OA+PA=OP=4，令OA=x，AB=y，根據勾股定理可得y²=x²+(4-x)²=2x²-8x+16=2(x-2)²+8≥8，再根據二次函數的性質即可作出判斷.
（1）連接OM

∵Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點
∴OM=PM=PQ=2，∠POM=∠BOM=∠P=45°
∵∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO
∴∠PMA=∠OMB，
∴△PMA≌△OMB
∴MA=MB；
（2）△AOB的周長存在最小值
理由是: △PMA≌△OMB
∴PA=OB，∴OA+OB=OA+PA=OP=4
令OA=x，AB=y則y²=x²+(4-x)²=2x²-8x+16=2(x-2)²+8≥8
當x=2時y²有最小值=8從而y≥2
所以⊿AOB的周長存在最小值為4+2．
點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.