Question

如圖①，在平面直角坐標系中，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A(－1，0)、B(0，2)，拋物線y＝ax²＋ax－2經過點C。

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線(對稱軸的右側)上是否存在兩點P、Q，使四邊形ABPQ是正方形？若存在，求點P、Q的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）如圖②，E為BC延長線上一動點，過A．B．E三點作⊙O’，連結AE，在⊙O’上另有一點F，且AF＝AE，AF交BC于點G，連結BF。下列結論：①BE＋BF的值不變；②，其中有且只有一個成立，請你判斷哪一個結論成立，并證明成立的結論。

Answer 1

解:

(1)    由Rt△AOB≌Rt△CDA得OD=2+1=3，CD=1，C點的坐標為（-3，1），

 ∵拋物線經過點C，

∴。

∴拋物線的解析式為。

（2）在拋物線（對稱軸的右側）上存在點P、Q，使四邊形ABPQ是正方形。

以AB為邊在AB的右側作正方形ABPQ。過P作PE⊥OB于E，QG⊥x軸于G，

可證△PBE≌△AQG≌△BAO,

∴PE=AG=BO=2,  BE=QG=AO=1,

∴P點坐標為（2，1），Q點坐標為（1，-1）。

由（1）拋物線。當x=2時，y=1；當x=1時，y=-1。

∴P、Q在拋物線上，故在拋物線（對稱軸的右側）上存在點P（2，1）、Q（1，-1），使四邊形ABPQ是正方形。

（2）另解：在拋物線（對稱軸右側）上存在P、Q，使四邊形ABPQ是正方形。

延長CA交拋物線于Q，過B作BP∥CA交拋物線于P，連接PQ，

如左圖，設直線CA、BP的解析式分別為;,

∵A(-1,0),C(-3,1),∴CA的解析式是，

同理得BP的解析式為，

解方程組

得Q點坐標為（1，-1）。同理得P點的坐標為（2，1）。

由勾股定理得AQ=BP=AB=.而∠BAQ=90°，

∴四邊形ABPQ是正方形。故在拋物線（對稱軸右側）上存在點P（2，1）、Q（1，-1），使四邊形ABPQ是正方形。

（2）另解：在拋物線（對稱軸右側）上存在P、Q，使四邊形ABPQ是正方形。

延長CA交拋物線于Q，過B作BP∥CA交拋物線于P，連接PQ，

如左圖，將線段CA沿CA方向平移至AQ，

∵C（-3，1）的對應點是A（-1，0），∴A（-1，0）的對應點是Q（1，-1）；

再將線段AQ沿AB方向移至BP，同理可得P(2,1).

∵∠BAC=90°，AB=AC，∴四邊形ABPQ是正方形。

經驗證P、Q兩點均在拋物線上

上。

（3）結論②成立。證明如下：

如右圖，連EF，過F作FM∥BG交AB的延長線于M，則△AMF∽△ABC，

∴。

由（1）知△ABC是等腰直角三角形，∴∠1=∠2=45°。

∵AF=AE, ∴∠AEF=∠1=45°, ∠EAF=90°，EF是⊙O^`的直徑，∴∠EBF=90°，

∵FM∥BG，∴∠MFB=∠EBF=90°，∠M=∠2=45°, ∴BF=MF, ∴