Question

【題目】（本小題滿分10分）

如圖，在□ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F；再分別以點B、F為圓心，大于BF的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連接AP并延長交BC于點E，連接EF，則所得四邊形ABEF是菱形．

（1）根據以上尺規作圖的過程，求證四邊形ABEF是菱形；

（2）若菱形ABEF的周長為16，AE＝4，求∠C的大小．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）60°.

【解析】

試題分析：（1）由作圖過程可知，AB＝AF，AE平分∠BAD，即可得∠BAE＝∠EAF．再由四邊形ABCD為平行四邊形，可得BC∥AD，根據平行線的性質可得∠AEB＝∠EAF，所以∠BAE＝∠AEB，根據等腰三角形的性質可得AB＝BE，即可得BE＝AF，所以四邊形ABEF為平行四邊形，根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可判定四邊形ABEF為菱形；（2）連接BF，已知四邊形ABEF為菱形，根據菱形的性質可得BF與AE互相垂直平分，∠BAE＝∠FAE，OA＝AE＝．再由菱形ABEF的周長為16，可得AF＝4．所以cos∠OAF＝＝．即可得∠OAF＝30°，所以∠BAF＝60°．再由平行線的性質即可得∠C＝∠BAD＝60°．

試題解析：

（1）由作圖過程可知，AB＝AF，AE平分∠BAD．∴∠BAE＝∠EAF．

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC∥AD．∴∠AEB＝∠EAF．

∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE．∴BE＝AF．∴四邊形ABEF為平行四邊形．

∴四邊形ABEF為菱形．

（2）連接BF，

∵四邊形ABEF為菱形，∴BF與AE互相垂直平分，∠BAE＝∠FAE．

∴OA＝AE＝．∵菱形ABEF的周長為16，∴AF＝4．

∴cos∠OAF＝＝．∴∠OAF＝30°，∴∠BAF＝60°．

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠C＝∠BAD＝60°．