Question

【題目】已知⊙O的直徑AB=2，弦AC與弦BD交于點E．且OD⊥AC，垂足為點F．

（1）如圖1，如果AC=BD，求弦AC的長；

（2）如圖2，如果E為弦BD的中點，求∠ABD的余切值；

（3）聯結BC、CD、DA，如果BC是⊙O的內接正n邊形的一邊，CD是⊙O的內接正（n+4）邊形的一邊，求△ACD的面積．

Answer 1

【答案】（1）AC=；（2）cot∠ABD=；（3）S△ACD=．

【解析】（1）由AC=BD知 ，得，根據OD⊥AC知，從而得，即可知∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，利用AF=AOsin∠AOF可得答案；

（2）連接BC，設OF=t，證OF為△ABC中位線及△DEF≌△BEC得BC=DF=2t，由DF=1﹣t可得t=，即可知BC=DF=，繼而求得EF=AC=，由余切函數定義可得答案；

（3）先求出BC、CD、AD所對圓心角度數，從而求得BC=AD=、OF=，從而根據三角形面積公式計算可得．

（1）∵OD⊥AC，

∴，∠AFO=90°，

又∵AC=BD，

∴，即，

∴，

∴，

∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，

∵AB=2，

∴AO=BO=1，

∴AF=AOsin∠AOF=1×=，

則AC=2AF=；

（2）如圖1，連接BC，

∵AB為直徑，OD⊥AC，

∴∠AFO=∠C=90°，

∴OD∥BC，

∴∠D=∠EBC，

∵DE=BE、∠DEF=∠BEC，

∴△DEF≌△BEC（ASA），

∴BC=DF、EC=EF，

又∵AO=OB，

∴OF是△ABC的中位線，

設OF=t，則BC=DF=2t，

∵DF=DO﹣OF=1﹣t，

∴1﹣t=2t，

解得：t=，

則DF=BC=、AC==，

∴EF=FC=AC=，

∵OB=OD，

∴∠ABD=∠D，

則cot∠ABD=cot∠D=；

（3）如圖2，

∵BC是⊙O的內接正n邊形的一邊，CD是⊙O的內接正（n+4）邊形的一邊，

∴∠BOC=、∠AOD=∠COD=，

則+2×=180，

解得：n=4，

∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°，

∴BC=AC=，

∵∠AFO=90°，

∴OF=AOcos∠AOF=，

則DF=OD﹣OF=1﹣，

∴S△ACD=ACDF=××（1﹣）=．