Question

【題目】如圖，的內(nèi)接四邊形中為直徑，，是的切線，交的延長線于點．

（1）如圖（1）求證：；

（2）如圖（2）點在弧上，連接分別交、于點、，且，求證：；

（3）如圖（3）在（2）的條件下，連接分別交、于點、，，垂足為，是上一點，連接，已知，，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）DQ=14．

【解析】

（1）連接OB，根據(jù)切線性質(zhì)∠CBP+∠OBC=90°，由OB=OC，結(jié)合三角形內(nèi)角和易證∠BOC=2∠CBP，再由平行線性質(zhì)可得∠BOC=∠ABO，∠COD=∠OAB，而∠OBA=∠OAB，所以∠COD=2∠CBP；
（2）由OC // AB可知∠AFE=∠DGC，將∠ADC+2∠.AFE=180°轉(zhuǎn)化為∠OCD+2∠CGD=180°，即可得∠GCD=∠CDG，由等角對等邊即可得到結(jié)論；
（3）連接AE、AQ，過M點作MS⊥AB于S，根據(jù)2∠ANB-∠ADQ=2∠ADB，可得四邊形ABDQ為矩形，即DQ=AB，根據(jù)角的等量關(guān)系解三角形可知EF=，AE=，設(shè)TM=|x，則DT=ET=4+ x，DG=3 + x，用三角函數(shù)可導(dǎo)出CD=CG=4+2x，GH=1+x， CD=3x+3，即4+2x=3x+3， 可得GH=4，BF=8，AF=6，即AB=DQ=14．

（1）連接OB，

∵BP是⊙O的切線，

∴OB⊥PB，

∵∠PBO＝90，

∴∠CBP+∠OBC=90°，

∴2∠CBP+2∠OBC=180°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，

∴2∠OBC+∠BOC=180°，

∴∠BOC=2∠CBP，

∵OC∥AB，

∴∠BOC=∠ABO，∠COD=∠OAB，

∵OB=OA，

∴∠OBA=∠OAB，

∴∠COD=2∠CBP．

（2）∵OC∥AB，

∴∠AFE=∠OGF，

∵∠CGD=∠OGF，

∴∠AFE=∠DGC，

∵∠ADC＋2∠AFE＝180，

∵OD=OC∴∠GCD=∠ADC，

∴∠GCD＋2∠AFE＝180，

∵∠GCD+∠CDG+∠CGD=180°，

∴∠GCD=∠CDG，

∴CD＝CG；

（3）連接AE、AQ，過M點作MS⊥AB于S．

∵AD為⊙O直徑，

∴AE⊥DE，

∴∠AED＝90，

∵OT⊥DE，

∴TE=TD，∠OTD＝90，

∴OT=，

∵OC∥AB，

∴∠AFE=∠OGT，

，

∵EF=2TG=2，

，

，

∵FM=， 即EM=，

∴AE=，

可得，tan∠EAF=，

解△AFM，可得tan∠FAM=，AF=6，

設(shè)TM=x，則

用三角函數(shù)可導(dǎo)出CD=CG=，

∴CD=

即

解得

∴GH=4，BF=8，AF=6

∴AB=14

∵∠ANB-∠ADB=∠CAD

又∵ 2∠ ANB-∠ADQ=2∠ADB，

∴∠ ADQ=2∠CAD，

由 (1) 可知∠BAD=2∠CAD，

∴∠ADQ= ∠BAD，

∴DQ∥AB∴四邊形ABDQ的四角均為90°

∴四邊形ABDQ為矩形，

∴DQ=AB=14