Question

【題目】材料一：一個正整數x能寫成x=a2﹣b2（a，b均為正整數，且a≠b），則稱x為“雪松數”，a，b為x的一個平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a2+b2最大，則稱a，b為x的最佳平方差分解，此時F（x）=a2+b2．

例如：24=72﹣52，24為雪松數，7和5為24的一個平方差分解，32=92﹣72，32=62﹣22，因為92+72＞62+22，所以9和7為32的最佳平方差分解，F（32）=92+72

材料二：若一個四位正整數，它的千位數字與個位數字相同，百位數字與十位數字相同，但四個數字不全相同，則稱這個四位數為“南麓數”．例如4334，5665均為“南麓數”．

根據材料回答：

（1）請直接寫出兩個雪松數，并分別寫出它們的一對平方差分解；

（2）試證明10不是雪松數；

（3）若一個數t既是“雪松數”又是“南麓數”，并且另一個“南麓數”的前兩位數字組成的兩位數與后兩位數字組成的兩位數恰好是t的一個平方差分解，請求出所有滿足條件的數t中F（t）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）112=112﹣32，40=72﹣32；（2）見解析；（3）12020．

【解析】試題分析：（1）根據雪松數的特征即可得到結論；

（2）根據題意即可得到結論；

（3）設t=（a，b均為正整數，且0＜a≠b≤9），另一個“南麓數”為t′=（m，n均為正整數，且0＜n＜m≤9），根據“南麓數”的特征即可得到結論．

試題解析：解：（1）112=112﹣32，40=72﹣32；

（2）若10是“雪松數”，則可設a2﹣b2=10（a，b均為正整數，且a≠b），則（a+b）（a﹣b）=10．又∵10=2×5=10×1．∵a，b均為正整數，∴a+b＞a﹣b，∴，或，解得：或，與a，b均為正整數矛盾，故10不是雪松數；

（3）設t=（a，b均為正整數，且0＜a≠b≤9），另一個“南麓數”為t′=（m，n均為正整數，且0＜n＜m≤9），則t=（10m+n）2﹣（10n+m）2=99（m2﹣n2）=99（m+n）（m﹣n），∴99（m+n）（m﹣n）=1000a+100b+10b+a=1001a+110b，整理得，（m+n）（m﹣n）=10a+b+．∵a，b，m，n均為正整數，∴a+b=9，經探究，符合題意，∴t的值分別為：2772，5445，t′的值分別為：8668，8338，由材料一可知，F（t）的最大值為：862+682=12020．