Question

【題目】在平面直角坐標系xOy（如圖）中，拋物線y＝ax2+bx+2經過點A（4，0）、B（2，2），與y軸的交點為C．

（1）試求這個拋物線的表達式；

（2）如果這個拋物線的頂點為M，求△AMC的面積；

（3）如果這個拋物線的對稱軸與直線BC交于點D，點E在線段AB上，且∠DOE＝45°，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）；（3）點E的坐標為（3，1）．

【解析】

（1）根據點A，B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的表達式；

（2）利用配方法可求出點M的坐標，利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，過點M作MH⊥y軸，垂足為點H，利用分割圖形求面積法可得出△AMC的面積；

（3）連接OB，過點B作BG⊥x軸，垂足為點G，則△BGA，△OCB是等腰直角三角形，進而可得出∠BAO＝∠DBO，由∠DOB＋∠BOE＝45°，∠BOE＋∠EOA＝45°可得出∠EOA＝∠DOB，進而可證出△AOE∽△BOD，利用相似三角形的性質結合拋物線的對稱軸為直線x＝1可求出AE的長，過點E作EF⊥x軸，垂足為點F，則△AEF為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得出AF、EF的長，進而可得出點E的坐標．

解：（1）將A（4，0），B（2，2）代入y＝ax2＋bx＋2，得：，

解得：，

∴拋物線的表達式為y＝﹣x2＋x＋2．

（2）∵y＝﹣x2＋x＋2＝﹣（x﹣1）2＋，

∴頂點M的坐標為（1，）．

當x＝0時，y＝﹣x2＋x＋2＝2，

∴點C的坐標為（0，2）．

過點M作MH⊥y軸，垂足為點H，如圖1所示．

∴S△AMC＝S梯形AOHM﹣S△AOC﹣S△CHM，

＝（HM＋AO）OH﹣AOOC﹣CHMH，

＝×（1＋4）×﹣×4×2﹣×（﹣2）×1，

＝．

（3）連接OB，過點B作BG⊥x軸，垂足為點G，如圖2所示．

∵點B的坐標為（2，2），點A的坐標為（4，0），

∴BG＝2，GA＝2，

∴△BGA是等腰直角三角形，

∴∠BAO＝45°．

同理，可得：∠BOA＝45°．

∵點C的坐標為（2，0），

∴BC＝2，OC＝2，

∴△OCB是等腰直角三角形，

∴∠DBO＝45°，BO＝2，

∴∠BAO＝∠DBO．

∵∠DOE＝45°，

∴∠DOB＋∠BOE＝45°．

∵∠BOE＋∠EOA＝45°，

∴∠EOA＝∠DOB，

∴△AOE∽△BOD，

∴．

∵拋物線y＝﹣x2＋x＋2的對稱軸是直線x＝1，

∴點D的坐標為（1，2），

∴BD＝1，

∴，

∴AE＝，

過點E作EF⊥x軸，垂足為點F，則△AEF為等腰直角三角形，

∴EF＝AF＝1，

∴點E的坐標為（3，1）．