Question

（Ⅰ）如圖1，點P在平行四邊形ABCD的對角線BD上，一直線過點P分別交BA，BC的延長線于點Q，S，交AD，CD于點R，T．求證：PQ•PR=PS•PT；
（Ⅱ）如圖2，圖3，當點P在平行四邊形ABCD的對角線BD或DB的延長線上時，PQ•PR=PS•PT是否仍然成立？若成立，試給出證明；若不成立，試說明理由（要求僅以圖2為例進行證明或說明）；
（Ⅲ）如圖4，ABCD為正方形，A，E，F，G四點在同一條直線上，并且AE=6cm，EF=4cm，試以（Ⅰ）所得結論為依據，求線段FG的長度．

Answer 1

分析：（1）本題要通過相似三角形來求解．已知了四邊形ABCD是平行四邊形，那么CD∥AB，可根據相似三角形DTP和BPA得出

PQ

PT

=

PB

PD

，同理可在相似三角形RPD和SPB中得出類似的結論，將中間值替換即可得出本題所求的結論．
（2）圖2，3同（1）完全一樣．均是通過兩組不同的相似三角形來得出兩組對應線段成比例，然后將相等的項進行替換即可得出所證的結論．
（3）根據（1）的結論可知：AE²=EF•EG，據此可求出EG的長，進而可求出FG的值．

解答：（Ⅰ）證明：∵在平行四邊形ABCD中，AB∥CD
∴∠1=∠2，∠Q=∠4．
∴△PBQ∽△PDT．
∴

PQ

PT

=

PB

PD

．
∵AD∥BS，
∴∠3=∠6，∠S=∠5．
∴△PBS∽△PDR．
∴

PS

PR

=

PB

PD

．
∴

PQ

PT

=

PS

PR

．
∴PQ•PR=PS•PT．

（Ⅱ）解：PQ•PR=PS•PT仍然成立．
理由如下：
在△PQB中，
∵DT∥BQ，
∴

PT

PQ

=

PD

PB

．
在△PBS中，
∵DR∥BS，
∴

PR

PS

=

PD

PB

．
∴

PT

PQ

=

PR

PS

∴PQ•PR=PS•PT．

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）的結論可得，AE²=EF•EG，
∴6²=4EG，
∴EG=9．
∴FG=EG-EF=9-4=5（cm）．
所以，線段FG的長是5cm．

點評：本題主要考查了平行四邊形的性質和相似三角形的判定和性質．通過相似三角形得出與所求相關的線段對應成比例是解題的關鍵．