Question

【題目】（問題背景）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系．小明同學的方法是將△ABE繞點A逆時針旋轉120°到△ADG的位置，然后再證明△AFE ≌△AFG，從而得出什么結論．

（探索延伸）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由．

（結論應用）如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏東60°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏西20°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等．接到行動指令后，艦艇甲向正南方向以30海里/小時的速度前進，艦艇乙沿南偏東40°的方向以50海里/小時的速度前進，1小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F處，且兩艦艇與指揮中心O之間夾角∠EOF＝70°，試求此時兩艦艇之間的距離．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) 此時兩艦艇之間的距離為180海里．

【解析】

試題問題背景：將△ABE繞點A逆時針旋轉120°到△ADG的位置后，AE=AG，DG=BE，∠EAF＝∠FAG=60°，利用SAS證明△AFE ≌△AFG即可得出結論；探索延伸：延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，通過SAS可證得△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝∠FAG=60°，于是△AEF≌△AGF．EF=FG．所以FG＝DG＋DF＝BE＋DF．∴EF＝BE＋FD仍然成立．結論應用：連接EF，∵∠AOB＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠A＋∠B＝60°＋120°＝180°，符合探索延伸中的條件，即結論EF＝AE＋FB成立．因為AE=80，FB=100，于是求出此時兩艦艇之間的距離EF．

試題解析：問題背景：將△ABE繞點A逆時針旋轉120°到△ADG的位置后，AE=AG，DG=BE，∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝60°，∠EAG＝120°，所以∠FAG=60°，∠EAG＝∠FAG，所以△AFE ≌△AFG（SAS）， ∴EF=FG．∵FG＝DG＋DF，所以EF＝BE＋FD．探索延伸：EF＝BE＋FD仍然成立，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，因為AB=AD，∠B＝∠ADG＝90°，所以△ABE≌△ADG，所以 ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，所以∠EAG＝∠FAG=60°，所以△AEF≌△AGF（SAS）．∴EF=FG．又∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF．∴EF＝BE＋FD．結論應用：連接EF，∵∠AOB＝30°＋90°＋20°＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠A＋∠B＝60°＋120°＝180°，符合探索延伸中的條件，∴結論EF＝AE＋FB成立．因為BF=50×2=100，AE=40×2=80， 所以此時兩艦艇之間的距離EF＝AE＋FB=80+100=180海里，即此時兩艦艇之間的距離為180海里．