Question

．如圖，△ABC是等邊三角形，D為BC邊上一個動點（D與B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，連接CE．

（1）求證：△ABD≌△ACE；

（2）求證：CE平分∠ACF；

（3）若AB=2，當四邊形ADCE的周長取最小值時，求BD的長．

Answer 1

【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．

【分析】（1）由于AB=AC，AD=AE，所以只需證∠BAD=∠CAE即可得結論；

（2）證明∠ACE和∠ECF都等于60°即可；

（3）將四邊形ADCE的周長用AD表示，AD最小時就是四邊形ADCE的周長最小，根據垂線段最短原理，當AD⊥BC時，AD最小，此時BD就是BC的一半．

【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵∠DAE=60°，

∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，

即∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE．

（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠BCA=60°，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ACE=∠B=60°，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ACE=∠B=60°，

∴∠ECF=180﹣∠ACE﹣∠BCA=60°，

∴∠ACE=∠ECF，

∴CE平分∠ACF．

（3）解：∵△ABD≌△ACE，

∴CE=BD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC=2，

∴四邊形ADCE的周長=CE+DC+AD+AE=BD+DC+2AD=2+AD，

根據垂線段最短，當AD⊥BC時，AD值最小，四邊形ADCE的周長取最小值，

∵AB=AC，

∴BD===1．

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質定理以及垂線段最短原理，關鍵是找出能使三角形全等的條件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應邊相等，對應角相等．