Question

（2010•賀州）如圖所示，OM是一堵高為2.5米的圍墻截面的高，小明在圍墻內投籃，籃球從點A處投出，卻投到了籃球框外，正好打在了斜靠在圍墻上的一根竹竿CD的點B處，籃球經過的路線是二次函數y=ax²+bx+4圖象的一部分．現以O為原點，垂直于OM的水平線為x軸，OM所在的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，如果籃球不被竹竿擋住，籃球將通過圍墻外的點E，點E的坐標為（-3，

7

2

），點B和點E關于此二次函數圖象的對稱軸對稱，若tan∠OCM=1．（圍墻的厚度忽略不計，圍墻內外水平面高度一樣）
（1）求竹竿CD所在的直線的解析式；
（2）求點B的坐標；
（3）在圍墻外距圍墻底部O點5.5米處有一個大池塘，如果籃球投出后不被竹竿擋住，籃球會不會直接落入池塘？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由tan∠OCM=1，可以得出OM=OC=2.5，可以求出點C點M的坐標，利用待定系數法久可以求出直線CD的解析式．
（2）由點B和點E關于二次函數圖象的對稱軸對稱就可以求出點B的縱坐標與點E的縱坐標相同，從而可以求出點B的坐標．
（3）由條件求出拋物線的解析式，再將求出拋物線與x軸的交點，從而判斷是否可以落入池塘．

解答：解：（1）∵tan∠OCM=1，∴OM=OC=2.5，
∴C、M的坐標分別為C（-2.5，0），M（0，2.5）．
設直線CD的解析式為y=kx+b．
則

-2.5k+b=0 b=2.5

，
解之得：

k=1 b=2.5

，
∴直線CD的解析式為y=x+2.5；

（2）∵點B和點E（-3，

7

2

） 關于此二次函數的對稱軸對稱．
∴點B的縱坐標為

7

2

．
∵點B在直線CD上
∴x+2.5=

7

2

，
∴x=1，
∴點B坐標是（1，

7

2

）；

（3）∵點B（1，

7

2

），E（-3，

7

2

）是函數y=ax²+bx+4圖象上的兩點．
∴

a+b+4= 7 2 9a-3b+4= 7 2

，
解之得

a=- 1 6 b=- 1 3

，
∴二次函數的解析式為y=-

1

6

x2-

1

3

x+4．
當y=0時，-

1

6

x2-

1

3

x+4=0
解之得x₁=4，x₂=-6，
∴拋物線與x軸的交點分別為（4，0），（-6，0），
∵點（4，0）在圍墻內，點（-6，0）在圍墻外．
且|-6|＞5.5，
∴籃球會直接落入池塘．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了運營待定系數法求一次函數的解析式、二次函數的解析式，銳角三角函數的運用．