Question

【題目】如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為邊AC上一點，DE⊥AB于點E，點M為BD中點，CM的延長線交AB于點F.

（1）求證：CM=EM；

（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；

（3）如圖2，若△DAE≌△CEM，點N為CM的中點，求證：AN∥EM.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠EMF=100°；（3）證明見解析.

【解析】（1）在Rt△DCB和Rt△DEB中，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半進行證明即可得；

（2）根據直角三角形兩銳角互余可得∠ABC=40°，根據CM=MB，可得∠MCB=∠CBM，從而可得∠CMD=2∠CBM，繼而可得∠CME=2∠CBA=80°，根據鄰補角的定義即可求得∠EMF的度數；

（3）由△DAE≌△CEM，CM=EM，∠DEA=90°，結合CM=DM以及已知條件可得△DEM是等邊三角形，從而可得∠EDM=60°，∠MBE=30°，繼而可得∠ACM=75°，連接AM，結合AE=EM=MB，可推導得出AC=AM，根據N為CM中點，可得AN⊥CM，再根據CM⊥EM，即可得出AN∥EM.

（1）∵M為BD中點，

Rt△DCB中，MC=BD，

Rt△DEB中，EM=BD，

∴MC=ME；

（2）∵∠BAC=50°，∠ACB=90°，

∴∠ABC=90°-50°=40°，

∵CM=MB，

∴∠MCB=∠CBM，

∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM，

同理，∠DME=2∠EBM，

∴∠CME=2∠CBA=80°，

∴∠EMF=180°-80°=100°；

（3）∵△DAE≌△CEM，CM=EM，

∴AE=EM，DE=CM，∠CME=∠DEA=90°，∠ECM=∠ADE，

∵CM=EM，∴AE=ED，∴∠DAE=∠ADE=45°，

∴∠ABC=45°，∠ECM=45°，

又∵CM=ME=BD=DM，

∴DE=EM=DM，

∴△DEM是等邊三角形，

∴∠EDM=60°，

∴∠MBE=30°，

∵CM=BM，∴∠BCM=∠CBM，

∵∠MCB+∠ACE=45°，

∠CBM+∠MBE=45°，

∴∠ACE=∠MBE=30°，

∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75°，

連接AM，∵AE=EM=MB，

∴∠MEB=∠EBM=30°，

∠AME=∠MEB=15°，

∵∠CME=90°，

∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM，

∴AC=AM，

∵N為CM中點，

∴AN⊥CM，

∵CM⊥EM，

∴AN∥CM.