Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，點B坐標為（6，0），點C坐標為（0，6），點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．

（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；

（2）點F是拋物線上的動點，當∠FBA=∠BDE時，求點F的坐標；

（3）若點M是拋物線上的動點，過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N，點P在x軸上，點Q在平面內，以線段MN為對角線作正方形MPNQ，請直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+6，D（2，8）；（2）點F的坐標為（﹣1，）或（﹣3，﹣）；（3）點Q的坐標為（2，﹣1）或（2，﹣﹣1）．

【解析】

試題分析：（1）由點B、C的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式，再利用配方法將拋物線解析式變形成頂點式即可得出結論；（2）設線段BF與y軸交點為點F′，設點F′的坐標為（0，m），由相似三角形的判定及性質可得出點F′的坐標，根據點B、F′的坐標利用待定系數法可求出直線BF的解析式，聯立直線BF和拋物線的解析式成方程組，解方程組即可求出點F的坐標；（3）設對角線MN、PQ交于點O′，如圖2所示．根據拋物線的對稱性結合正方形的性質可得出點P、Q的位置，設出點Q的坐標為（2，2n），由正方形的性質可得出點M的坐標為（2﹣n，n）．由點M在拋物線圖象上，即可得出關于n的一元二次方程，解方程可求出n值，代入點Q的坐標即可得出結論．

試題解析：（1）將點B（6，0）、C（0，6）代入y=﹣x2+bx+c中，

得：，解得：，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+6．

∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，

∴點D的坐標為（2，8）．

（2）設線段BF與y軸交點為點F′，設點F′的坐標為（0，m），如圖1所示．

∵∠F′BO=∠FBA=∠BDE，∠F′OB=∠BED=90°，

∴△F′BO∽△BDE，

∴．

∵點B（6，0），點D（2，8），

∴點E（2，0），BE=6﹣4=4，DE=8﹣0=8，OB=6，

∴OF′=OB=3，

∴點F′（0，3）或（0，﹣3）．

設直線BF的解析式為y=kx±3，

則有0=6k+3或0=6k﹣3，

解得：k=﹣或k=，

∴直線BF的解析式為y=﹣x+3或y=x﹣3．

聯立直線BF與拋物線的解析式得：①或②，

解方程組①得：或（舍去），

∴點F的坐標為（﹣1，）；

解方程組②得：或（舍去），

∴點F的坐標為（﹣3，﹣）．

綜上可知：點F的坐標為（﹣1，）或（﹣3，﹣）．

（3）設對角線MN、PQ交于點O′，如圖2所示．

∵點M、N關于拋物線對稱軸對稱，且四邊形MPNQ為正方形，

∴點P為拋物線對稱軸與x軸的交點，點Q在拋物線對稱軸上，

設點Q的坐標為（2，2n），則點M的坐標為（2﹣n，n）．

∵點M在拋物線y=﹣x2+2x+6的圖象上，

∴n=﹣（2-n）2+2（2﹣n）+6，即n2+2n﹣16=0，

解得：n1=﹣1，n2=﹣﹣1．

∴點Q的坐標為（2，﹣1）或（2，﹣﹣1）．