Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與x軸的一個交點為B（4，0），另一個交點為A，且與y軸相交于C點．

（1）求m的值及C點坐標；

（2）在直線BC上方的拋物線上是否存在一點M，使得它與B，C兩點構成的三角形面積最大，若存在，求出此時M點坐標；若不存在，請簡要說明理由；

（3）P為拋物線上一點，它關于直線BC的對稱點為Q．

①當四邊形PBQC為菱形時，求點P的坐標；

②點P的橫坐標為t（0＜t＜4），當t為何值時，四邊形PBQC的面積最大，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=4，C（0，4）；（2）存在，M（2，6）；（3）①P（，）或P（，）；②當t=2時，S四邊形PBQC最大=16．

【解析】

試題分析：（1）用待定系數法求出拋物線解析式；

（2）先判斷出面積最大時，平移直線BC的直線和拋物線只有一個交點，從而求出點M坐標；

（3）①先判斷出四邊形PBQC時菱形時，點P是線段BC的垂直平分線，利用該特殊性建立方程求解；

②先求出四邊形PBCQ的面積與t的函數關系式，從而確定出它的最大值．

試題解析：（1）將B（4，0）代入，解得，m=4，∴二次函數解析式為，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；

（2）存在，理由：∵B（4，0），C（0，4），∴直線BC解析式為y=﹣x+4，當直線BC向上平移b單位后和拋物線只有一個公共點時，△MBC面積最大，∴，∴，∴△=16﹣4b=0，∴b=4，∴，∴M（2，6）；

（3）①如圖，∵點P在拋物線上，∴設P（m，），當四邊形PBQC是菱形時，點P在線段BC的垂直平分線上，∵B（4，0），C（0，4），∴線段BC的垂直平分線的解析式為y=x，∴m=，∴m=，∴P（，）或P（，）；

②如圖，設點P（t，），過點P作y軸的平行線l，過點C作l的垂線，∵點D在直線BC上，∴D（t，﹣t+4），∵PD=﹣（﹣t+4）=，BE+CF=4，∴S四邊形PBQC=2S△PDC=2（S△PCD+S△BD）=2（PD×CF+PD×BE）=4PD==，∵0＜t＜4，∴當t=2時，S四邊形PBQC最大=16．