Question

【題目】（1）小My同學在網絡直播課中學習了勾股定理，他想把這一知識應用在等邊三角形中：邊長為a的等邊三角形面積是　 　（用含a的代數式表示）；

（2）小My同學進一步思考：是否可以將正方形剪拼成一個等邊三角形（不重疊、無縫隙）？

①如果將一個邊長為2的正方形紙片剪拼等邊三角形，那么該三角形邊長的平方是　 　；

②小My同學按下圖切割方法將正方形ABCD剪拼成一個等邊三角形EFG：M、N分別為AB、CD邊上的中點，P、Q是邊BC、AD上兩點，G為MQ上一點，且∠MGP＝∠PGN＝∠NGQ＝60°．

請補全圖形，畫出拼成正三角形的各部分分割線，并標號；

③正方形ABCD的邊長為2，設BP＝x，則x2＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）a2；（2）①；②詳見解析；③﹣1．

【解析】

（1）如圖1，過A作AD⊥BC于D，根據等邊三角形的性質得到BD＝CD＝BC＝a，由勾股定理得到AD＝，于是得到S△ABC＝BCAD＝；

（2）①根據三角形的面積公式即可得到結論；

②補全圖形如圖2所示；

③由題意知，PG＝PE，GN＝NF，推出PN是△GEF的中位線，得到PN＝EF，根據勾股定理即可得到結論．

解：（1）如圖，過A作AD⊥BC于D，

∵△ABC是等邊三角形，

∴BD＝CD＝BC＝a，

∴AD＝，

∴S△ABC＝BCAD＝a2；

（2）①∵邊長為2的正方形的面積＝4，

∴剪拼成的等邊三角形的面積＝4，

∴a2＝4，

∴a2＝，

即該三角形邊長的平方是；

②補全圖形如圖2所示；

③由題意知，PG＝PE，GN＝NF，

∴PN是△GEF的中位線，

∴PN＝EF，

∵N為AB邊上的中點，

∴BN＝AB＝1，

∵邊長為2的正方形的面積＝4，

∴剪拼成的等邊三角形的面積＝4，

∴a2＝4，

∴a2＝，

即△GEF邊長的平方是，

∴EF＝，

∴PN＝，

∵PN2＝BN2+BP2，

∴＝1+x2，

∴x2＝﹣1；

故答案為：（1）；（2）①；③．