Question

（2013•宜興市一模）如圖，已知△ABC在平面直角坐標系中，其中點A、B、C三點的坐標分別為（1，2

3

），（-1，0），（3，0），點D為BC中點，P是AC上的一個動點（P與點A、C不重合），連接PB、PD，則△PBD周長的最小值是（　　）

• A．2

  7

  +2
• B．3

  2

  +2
• C．4

  3

• D．2

  5

  +3

Answer 1

分析：首先根據給出的點的坐標判定三角形ABC是等邊三角形，作點B關于AC的對稱點E，連接EP、EB、ED、EC，則PB+PD=PE+PD，因此ED的長就是PB+PD的最小值，即當點P運動到ED與AC的交點G時，△PBD的周長最小．

解答：解：如圖，作點B關于AC的對稱點E，連接EP、EB、ED、EC，則PB+PD=PE+PD，因此ED的長就是PB+PD的最小值，即當點P運動到ED與AC的交點G時，△PBD的周長最小．
∵A、B、C三點的坐標分別為（1，2

3

），（-1，0），（3，0），點D為BC中點，
∴AB=

12+4

=4，BC=4，AC=

12+4

=4，
∴△ABC是等邊三角形，
從點D作DF⊥BE，垂足為F，因為BC=4，所以BD=2，
BE=2

42-22

=4

3

，
因為∠DBF=30°，所以DF=

1

2

BD=1，BF=

3

，EF=BE-BF=4

3

-

3

=3

3

，DE=

DF2+EF2

=2

7

，
所以△PBD的周長的最小值是2+2

7

，
故選A．

點評：本題考查了等邊三角形的判定和性質以及勾股定理的靈活運用，解本題的關鍵是作出恰當的圖形，并且根據勾股定理求各邊長．