Question

如圖已知P為⊙O外一點，PA為⊙O的切線，B為⊙O上一點，且PA=PB，C為優弧上任意一點（不與A、B重合），連接OP、AB，AB與OP相交于點D，連接AC、BC．
（1）求證：PB為⊙O的切線；
（2）若tan∠BCA=，⊙O的半徑為，求弦AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA，OB，根據AP為圓O的切線，利用切線的性質得到∠OAP為直角，由半徑OA=OB，已知AP=BP，以及公共邊OP，利用SSS得出△OAP≌△OBP，利用全等三角形的對應角相等得到∠OBP為直角，即BP垂直于OB，可得出BP為圓O的切線；
（2）延長BO與圓交于點E，連接AE，利用同弧所對的圓周角相等得到∠AEB=∠ACB，可得出tan∠AEB的值，由BE為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到∠BAE為直角，在直角三角形AEB中，設AB=2x，得到AE=3x，再由直徑BE的長，利用勾股定理得到關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出弦AB的長．
解答：（1）證明：連接OA，OB，如圖所示：

∵AP為圓O的切線，
∴∠OAP=90°，
在△OAP和△OBP中，
，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
則BP為圓O的切線；
（2）解：延長線段BO，與圓O交于E點，連接AE，
∵BE為圓O的直徑，∴∠BAE=90°，
∵∠AEB和∠ACB都對，
∴∠AEB=∠ACB，
∴tan∠AEB=tan∠ACB=，
設AB=2x，則AE=3x，
在Rt△AEB中，BE=2，
根據勾股定理得：（2x）²+（3x）²=（2）²，
解得：x=2或x=-2（舍去），
則AB=2x=4．
點評：此題考查了切線的判定與性質，涉及的知識有：圓周角定理，銳角三角函數定義，全等三角形的判定與性質，切線的證明方法有兩種：有點連接，證垂直；無點作垂線，證明垂線段等于半徑．