Question

（2010•西藏）已知AB是⊙O的直徑，BE是⊙O的切線，點D是射線BE上一動點，且弦AC∥OD．
（1）試說明：CD是⊙O的切線；
（2）設⊙O的半徑為r，當點D運動到什么位置時，有AC=

2

r？

Answer 1

分析：（1）如圖1，連接OD．欲證明CD是⊙O的切線，只需證明CD⊥OD；
（2）如圖2，根據勾股定理逆定理證得△AOC是直角三角形；然后根據直角三角形的性質、矩形的判定與性質推知四邊形OCDB是矩形，則BD=OC=r，即點D運動到距離點B為r處時，AC=

2

r．

解答：（1）證明：如圖，∵OA=OC，
∴∠1=∠2．
又∵AC∥OD，
∴∠1=∠3，∠1=∠4，
∴∠3=∠4，
∴在△DCO與△DBO中，

CO=BO ∠3=∠4 OD=OD

，
∴△DCO≌△DBO（SAS），
∠DCO=∠DBO．
又∵BE是⊙O的切線，
∴∠DBO=90°，
∴∠DCO=90°，即CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切線；

（2）如圖2，在△AOC中，OA=OC=r．
∵AC=

2

r，
∴AC²=OA²+OB²，
∴∠AOC=90°，即OC⊥AB．
又∵OC⊥CD，BD⊥AB，
∴四邊形OCDB是矩形．
∴BD=OC=r，即點D運動到距離點B為r處時，AC=

2

r．

點評：本題考查了切線的判定與性質、全等三角形的判定與性質，勾股定理的逆定理以及矩形的判定與性質．注意此題輔助線的作法，是連接切點與圓心，構造直角三角形，通過直角三角形 的性質解答問題．