Question

已知，開口向上的拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點A（-6，0），另一個交點是B，與y軸的交點是C，且拋物線的頂點的縱坐標是-2，△AOC的面積為6

3

（1）求點B、C的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）M點從點A出發向點C以每秒

3

2

個單位勻速運動．同時點P以每秒2個單位的速度從A點出發，沿折線AB、BC向點C勻速運動，在運動的過程中，設△AMP的面積為y，運動的時間為x，求y與x的函數關系式及y的最大值；
（4）在運動的過程中，過點M作MN∥x軸交BC邊于N，試問，在x軸上是否存在點Q，使△MNQ為直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）設C（0，c），B（x₂，0），
S△AOC=

1

2

|c|×6=6

3

，|c|=2

3

，
又開口向上，對稱軸為x=-2，
∴c＜0，
即c=-2

3

，
-6+x₂=-2×2，
x₂=2，
點B坐標（2，0），點C坐標（0，-2

3

）；

（2）把點A（-6，0），C（0，-2

3

）代入y=ax²+bx+c和對稱軸-

b

2a

=-2，得

36a-6b+c=0 c=-2 3 b=4a

，
解得

a= 3 6 b= 2 3 3 c=-2 3

，
∴y=

3

6

x²+

2 3

3

x-2

3

；

（3）如圖，

AB=8，AC=4

3

，BC=4，
△ABC為直角三角形；
如圖①，

P點運動到點B時，
△AMP的面積最大為y=

1

2

×8×

3

=4

3

；
當4≤x＜6時，沿BC向點C勻速運動，如圖②，
AM=

3

2

x，PC=12-2x，
△AMP的面積最大為，

△AMP的面積為y=

1

2

AM•PC=

1

2

×

3

2

x（12-2x），
=-

3

2

（x-3）²+

9

2

3

，
這時△AMP的面積最大為

9 3

2

．
綜上所知△AMP的面積最大為

9 3

2

；

（4）如圖③，

△QMN為直角三角形
∠QMN或∠QNM為直角，
設Q為（x，0），到MN的距離為t，
則QM=-

3

3

x-2

3

=t，點N到x軸的距離是

3

x-2

3

=t，
則Q為（-4，0）或（0，0），
當∠MQN為直角時為（0，0）；
綜上所知Q為（-4，0）或（0，0）．