Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，O是AC與BD的交點，過O點的直線EF與AB、CD的延長線分別交于E、F．

（1）證明：△BOE≌△DOF；

（2）當EF⊥AC時，求證四邊形AECF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據矩形的性質，通過“角角邊”證明三角形全等即可；

（2）根據題意和（1）可得AC與EF互相垂直平分，所以四邊形AECF是菱形．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴OB=OD，AE∥CF，

∴∠E=∠F（兩直線平行，內錯角相等），

在△BOE與△DOF中，

，

∴△BOE≌△DOF（AAS）．

（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA=OC，

又∵由（1）△BOE≌△DOF得，OE=OF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

又∵EF⊥AC，

∴四邊形AECF是菱形．