【題目】已知拋物線
與x軸分別交于
，
兩點，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；
（2）點F是線段AD上一個動點．
①如圖1，設
，當k為何值時，
.
②如圖2，以A，F，O為頂點的三角形是否與
相似？若相似，求出點F的坐標；若不相似，請說明理由．
【答案】（1）
，D的坐標為
；（2）①
；②以A，F，O為頂點的三角形與
相似，F點的坐標為
或
．
【解析】
(1)將A、B兩點的坐標代入二次函數解析式，用待定系數法即求出拋物線對應的函數表達式，可求得頂點
；
(2)①由A、C、D三點的坐標求出
，
，
，可得
為直角三角形，若
，則點F為AD的中點，可求出k的值；
②由條件可判斷
，則
，若以A，F，O為頂點的三角形與
相似，可分兩種情況考慮：當
或
時，可分別求出點F的坐標．
(1)
拋物線
過點
，
，
，解得：
，
拋物線解析式為
；
，
頂點D的坐標為
；
(2)①在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
為直角三角形，且
，
，
F為AD的中點，
，
；
②在
中，
，
在
中，
，
，
，
，
，
若以A，F，O為頂點的三角形與相似，則可分兩種情況考慮：
當時，
，
，
設直線BC的解析式為
，
，解得：
，
直線BC的解析式為
，
直線OF的解析式為
，
設直線AD的解析式為
，
，解得：
，
直線AD的解析式為
，
，解得：
，
．
當時，
，
，
，
直線OF的解析式為
，
，解得：
，
，
綜合以上可得F點的坐標為
或
．
科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在正方形
中，
是
邊上的一點，
，
，將正方形邊
沿
折疊到
，延長
交
于
．連接
，現在有如下四個結論：①
；②
；③
∥；④
; 其中結論正確的個數是（ ）
A.1B.2
C.3D.4
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】問題背景：如圖，四邊形
中，
，
，
，
，
，
為邊
上一動點，連接
、
．
問題探究
（1）如圖1，若
，則
的長為__________．
（2）如圖2，請求出
周長的最小值；
（3）如圖3，過點作
于點
，過點分別作
于
，
于點
，連接
①是否存在點，使得
的面積最大？若存在，求出面積的最大值，若不存在，請說明理由；
②請直接寫出面積的最小值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線
交
軸于點
，交
軸于點
，若圖中陰影部分的三角形都是等腰直角三角形，則從左往右數第5個陰影三角形的面積是_____，第2019個陰影三角形的面積是_____．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在△ABC 中，∠ACB＝90°，分別以點A和點B為圓心，以相同的長（大于
AB）為半徑作弧，兩弧相交于點M和點N，作直線MN交AB于點D，交BC于點E．若AC＝3，AB＝5，則DE等于_____．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
是正方形
的對角線，
，邊
在其所在直線上向右平移，將通過平移得到的線段記為
，連結
，
，并過點
作
，垂足為
，連接
和
，在平移變換過程中，設
的面積為
，
，則的最大值是________．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】矩形對角線的四等分點叫做矩形的奇特點．如圖，在平面直角坐標系中，點
，
為拋物線
上的兩個動點（在的左側），且
軸，以
為邊畫矩形
，原點
在邊
上．
（1）如圖1，當矩形為正方形時，求該矩形在第一象限內的奇特點的坐標．
（2）如圖2，在點，的運動過程中，連結
交拋物線于點
．
①求證：點為矩形的奇特點；
②連結
，若
，拋物線上的點
為矩形的另一奇特點，求經過，，三點的圓的半徑．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，△ABC的頂點坐標分別為A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直線BC翻折，點A的對應點為D，拋物線y=ax2﹣10ax+c經過點C，頂點M在直線BC上．
（1）證明四邊形ABCD是菱形，并求點D的坐標；
（2）求拋物線的對稱軸和函數表達式；
（3）在拋物線上是否存在點P，使得△PBD與△PCD的面積相等？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
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