Question

【題目】若正整數k滿足個位數字為1，其他數位上的數字均不為1且十位與百位上的數字相等，

我們稱這樣的數k為“言唯一數”，交換其首位與個位的數字得到一個新數k'，并記F（k）=．

（1）最大的四位“言唯一數”是　 　，最小的三位“言唯一數”是　 　；

（2）證明：對于任意的四位“言唯一數”m，m+m'能被11整除；

（3）設四位“言唯一數”n=1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9且y≠1，x、y均為整數），若F（n）仍然為“言唯一數”，求所有滿足條件的四位“言唯一數”n．

Answer 1

【答案】(1)9991；221；（2）詳見解析；（3）滿足條件的所有的四位“言唯一數”為和

【解析】

根據題目給出的新定義，正整數k滿足個位數字為1，其他數位上的數字均不為1且十位與百位上的數字相等，稱這樣的數k為“言唯一數”，解答即可．

（1）最大的四位“言唯一數”是 9991 ，最小的三位“言唯一數”是 221 ；

（2）證明：設，則

都為正整數，則也是正整數

對于任意的四位“言唯一數”，能被整除．

（3） （，且，、均為整數）

.

則

仍然為言唯一數， 末尾數字為0，129末尾數字為9

則的末尾數字為2，

或

①當時，，

時，，此時

②當時，，

時，，此時

滿足條件的所有的四位“言唯一數”為和