Question

【題目】已知拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于點A，B（點A，B在原點O兩側），與y軸相交于點C，且點A，C在一次函數y2= x+n的圖象上，線段AB長為16，線段OC長為8，當y1隨著x的增大而減小時，求自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：根據OC長為8可得一次函數中的n的值為8或﹣8． 分類討論：①n=8時，易得A（﹣6，0）如圖1，
∵拋物線經過點A、C，且與x軸交點A、B在原點的兩側，
∴拋物線開口向下，則a＜0，
∵AB=16，且A（﹣6，0），
∴B（10，0），而A、B關于對稱軸對稱，
∴對稱軸直線x= =2，
要使y1隨著x的增大而減小，且a＜0，
∴x≥2；
②n=﹣8時，易得A（6，0），如圖2，
∵拋物線過A、C兩點，且與x軸交點A，B在對稱軸兩側，
∴拋物線開口向上，則a＞0，
∵AB=16，且A（6，0），
∴B（﹣10，0），而A、B關于對稱軸對稱，
∴對稱軸直線x= =﹣2，
要使y1隨著x的增大而減小，且a＞0，
∴x≤﹣2．
綜上所述，x≥2或x≤﹣2．

【解析】根據OC的長度確定出n的值為8或﹣8，然后分①n=8時求出點A的坐標，然后確定拋物線開口方向向下并求出點B的坐標，再求出拋物線的對稱軸解析式，然后根據二次函數的增減性求出x的取值范圍；②n=﹣8時求出點A的坐標，然后確定拋物線開口方向向上并求出點B的坐標，再求出拋物線的對稱軸解析式，然后根據二次函數的增減性求出x的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質和拋物線與坐標軸的交點，需要了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能得出正確答案．