Question

【題目】如圖是以定長AB為直徑的⊙O，CD為上的一條動弦（點C與A，點D與B不重合），CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．

（1）求證：AF=BE；

（2）若弦CD的長度保持不變，四邊形CDEF的面積是否也保持不變？并請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形CDEF的面積保持不變．

【解析】

試題分析：（1）作OM⊥CD于M，根據垂徑定理得到CM=DM，根據平行線等分線段定理證明結論；

（2）根據梯形中位線定理和梯形的面積公式解答即可．

（1）證明：作OM⊥CD于M，

則CM=DM，

∵CF⊥CD，DE⊥CD，OM⊥CD，

∴CF∥OM∥DE，又CM=DM，

∴OF=OE，又OA=OB，

∴OA﹣OF=OB﹣OE，即AF=BE；

（2）∵弦CD的長度保持不變，

∴弦心距OM的長度保持不變，

由（1）得，OM是梯形CDEF的中位線，

∴OM=（CF+DE），

∵四邊形CDEF的面積=OM×CD，

∴四邊形CDEF的面積保持不變．