Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC上一點，以AB，BD為鄰邊作ABDE，連接AD，EC．

（1）求證：△ADC≌△ECD；

（2）若BD=CD，求證：四邊形ADCE是矩形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】試題分析：（1）根據平行四邊形的性質、等腰三角形的性質，利用全等三角形的判定定理SAS可以證得△ADC≌△ECD；

（2）利用等腰三角形的“三合一”性質推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四邊形的判定定理（對邊平行且相等是四邊形是平行四邊形）證得四邊形ADCE是平行四邊形，所以有一個角是直角的平行四邊形是矩形．

證明：（1）∵四邊形ABDE是平行四邊形（已知），

∴AB∥DE，AB=DE（平行四邊形的對邊平行且相等）；

∴∠B=∠EDC（兩直線平行，同位角相等）；

又∵AB=AC（已知），

∴AC=DE（等量代換），∠B=∠ACB（等邊對等角），

∴∠EDC=∠ACD（等量代換）；

∵在△ADC和△ECD中，

，

∴△ADC≌△ECD（SAS）；

（2）∵四邊形ABDE是平行四邊形（已知），

∴BD∥AE，BD=AE（平行四邊形的對邊平行且相等），

∴AE∥CD；

又∵BD=CD，

∴AE=CD（等量代換），

∴四邊形ADCE是平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；

在△ABC中，AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性質），

∴∠ADC=90°，

∴ADCE是矩形．