Question

【題目】如圖, 已知拋物線與y軸相交于C，與x軸相交于A、B，點A的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，-1）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點E是線段AC上一動點，過點E作DE⊥x軸于點D，連結DC，當△DCE的面積最大時，求點D的坐標；

（3）在直線BC上是否存在一點P，使△ACP為等腰三角形，若存在，求點P的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x2-x-1；(2) D（1，0）；(3) P1（2.5，-3.5）、P2（1，-2）、P3（，--1），P4（-，-1）．

【解析】

（1）用待定系數法求得二次函數的解析式；

（2）設點D的坐標為（m，0）， （0＜m＜2），由△ADE∽△AOC得，從而求得DE的長，通過△CDE的面積公式求得當m=1時，△CDE的面積最大，即可求出點D的坐標；

（3）求出直線BC的解析式，若三角形為等腰三角形，則有三種可能，利用勾股定理從而求得P點的坐標．

解：（1）∵二次函數的圖像經過點A（2，0）C(0，－1)

∴解得：b=－c=－1

∴二次函數的解析式為

（2）設點D的坐標為（m，0）， （0＜m＜2）

∴ OD=m∴AD=2-m由△ADE∽△AOC得，

∴∴DE=

∴△CDE的面積=××m=

當m=1時，△CDE的面積最大，此時點D的坐標為（1，0）

（3）存在.

由(1)知：二次函數的解析式為

設y=0則解得：x1=2， x2=－1，

∴點B的坐標為（－1，0） C（0，－1）

設直線BC的解析式為：y=kx＋b

∴解得：k=-1，b=-1，

∴直線BC的解析式為:y=－x－1

在Rt△AOC中，∠AOC=90°

OA=2 OC=1，由勾股定理得：AC=

∵點B(－1，0) 點C（0，－1），∴OB=OC ∠BCO=45°

①當以點C為頂點且PC=AC=時，

設P(k, －k－1),過點P作PH⊥y軸于H，

∴∠HCP=∠BCO=45°，CH=PH=∣k∣，在Rt△PCH中

k2+k2=解得k1=，k2=－

∴P1（，－） P2（－，）

②以A為頂點，即AC=AP=

設P(k, －k－1),過點P作PG⊥x軸于G，

AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣

在Rt△APG中 AG2＋PG2=AP2，（2－k)2+(－k－1)2=5 解得：k1=1,k2=0(舍)

∴P3(1, －2) (3分)

（3）AP=CP，此時AP=CP

2x-2x+5=2x

-2x=-5，x=2.5

代入BC方程，y=-3.5

因此P4（2.5，-3.5）

綜上所述，存在四點：P1（2.5，-3.5）、P2（1，-2）、P3（，--1），P4（-，-1）．