Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，直線y=x-3交x軸于點B，交y軸于點C，拋物線經過點A(-1，0)，B，C三點,點F在y軸負半軸上，OF=OA.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在第一象限的拋物線上存在一點P，滿足S△ABC=S△PBC，請求出點P的坐標；

(3)點D是直線BC的下方的拋物線上的一個動點，過D點作DE∥y軸，交直線BC于點E，①當四邊形CDEF為平行四邊形時，求D點的坐標；

②是否存在點D，使CE與DF互相垂直平分？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3;

(2) P（4,5）

（3）①D(1,-4)或（2,-3），

②存在D（2,-3），使CE與DF互相垂直平分,理由見解析.

【解析】試題分析：（1）先根據直線解析式確定出B 、C的坐標，然后利用待定系數法即可得；

（2）過點A作AP∥BC，交拋物線于P點，P點滿足S△ABC=S△PBC，求出AP的解析式，然后與拋物線的解析式聯立組成方程組，求解即可得；

（3）根據點E在BC上，點D在拋物線上，設D（x，x2-2x-3），E(x，x-3)，則DE= -x2+3x，

①四邊形CDEF為平行四邊形可知DE=CF=2，解方程即可得；

②當四邊形CDEF為正方形時，才有CE與DF互相垂直平分，據此即可得.

試題解析：(1)由直線y=x-3與坐標軸交于B、C兩點，則有B（3，0），C（0，-3），

由題意設拋物線得解析式為y=a(x+1)(x-3)，

將C點坐標代入，得-3=-3a，

解得，a=1，

∴拋物線解析式為y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3；

(2)過點A作AP∥BC，交拋物線于P點，P點滿足S△ABC=S△PBC，

設直線AP的解析式為y=x+b，則0=-1+b，∴b=1，

∴直線AP的解析式為y=x+1，

由解得，

∴P（4，5）；

（3）易得F（0，-1），CF=2，

設D（x，x2-2x-3），E(x，x-3)，則DE=x-3-(x2-2x-3)=-x2+3x，

①令-x2+3x=2，解得x3=1，x4=2，

D(1，-4)或（2，-3），

②存在，

當D（2，-3）時E（2，-1），EF⊥CF，且EF=CF，

∴平行四邊形CDEF為正方形，

∴CE與DF互相垂直平分。

∴存在D（2，-3），使CE與DF互相垂直平分.