Question

【題目】△ABC是等邊三角形，點E、F分別是邊BC、AC上的點，且BE=CF，AE、BF交于點D．

（1）如圖1，求證：AE=BF．

（2）如圖2，過點A作AG⊥BF于點G，過點C作CH∥AE交BF延長線于點H，若D為BG中點，求BH：CH的值；

（3）如圖3，在（2）的條件下，L為BA延長線上一點，且FL=FB，△FLA的面積為2，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BH：CH=；（3）△ABC的面積為9．

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得到AB＝BC，∠ABC＝∠C，證明△ABE≌△BCF，根據全等三角形的性質，得到答案；

（2）連接CG，證明△ABD≌△BCG（SAS），得BD＝CG，∠ADB＝∠BGC＝120，根據平行線的性質得∠H＝∠ADG＝60，證明△CGH是等邊三角形，得BH＝3BD＝3CH，得結論；

（3）如圖3，作輔助線，構建高線FM，設CF＝a，證明△BCF∽△BHC，，根據同高三角形面積的比為對應底邊的比．

（1）如圖1．

∵三角形ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=60，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴AE=BF；

（2）如圖2，由（1）得：△ABE≌△BCF，

∴∠BAE=∠CBF．

∵∠ADG=∠ABD+∠BAE，

∴∠ADG=∠ABD+∠CBF=∠ABC=60，

∴∠ADB=120．

∵AG⊥BH，

∴∠DAG=30，

∴DG=AD．

∵D為BG中點，

∴BD=DG=BG，

∴AD=BG，

連接CG，如圖2所示：

在△ABD和△BCG中，

，

∴△ABD≌△BCG（SAS），

∴BD=CG，∠ADB=∠BGC=120，

∴∠CGH=60．

∵CH∥AE，

∴∠H=∠ADG=60，

∴∠CGH=∠H=60，

∴△CGH是等邊三角形，

∴GH=CH=CG=BD，

∴BH=3BD=3CH，

∴BH：CH=；

（3）如圖3，由（2）知：∠H=∠ADF=60，

∴∠BCF=∠H=60，∠CBF=∠CBH，

∴△BCF∽△BHC，

∴，

設CF=a，則BC=3a，AF=2a，

過F作FM⊥AB于M，

Rt△AFM中，∠FAM=60，∴∠AFM=30，∴AM=a，FM=a，

∴BM=3a﹣a=2a．

∵BF=FL，

∴LM=BM=2a，

∴AL=a，

∴=．

∵△FLA的面積為2，

∴△ABF的面積為6．

∵

∴△ABC的面積為9．