Question

【題目】已知，四邊形ABCD是正方形，點P在直線BC上，點G在直線AD上（P、G不與正方形頂點重合，且在CD的同側），PD=PG，DF⊥PG于點H，交直線AB于點F，將線段PG繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE，連結EF．

（1）如圖1，當點P與點G分別在線段BC與線段AD上時．

①求證：DG=2PC；

②求證：四邊形PEFD是菱形；

（2）如圖2，當點P與點G分別在線段BC與線段AD的延長線上時，請猜想四邊形PEFD是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）四邊形PEFD是菱形．理由見解析．

【解析】試題分析：（1）①作PM⊥DG于M，根據等腰三角形的性質由PD=PG得MG=MD，根據矩形的判定易得四邊形PCDM為矩形，則PC=MD，于是有DG=2PC；

②根據四邊形ABCD為正方形得AD=AB，由四邊形ABPM為矩形得AB=PM，則AD=PM，再利用等角的余角相等得到∠GDH=∠MPG，于是可根據“ASA”證明△ADF≌△MPG，得到DF=PG，加上PD=PG，得到DF=PD，然后利用旋轉的性質得∠EPG=90°，PE=PG，所以PE=PD=DF，再利用DF⊥PG得到DF∥PE，于是可判斷四邊形PEFD為平行四邊形，加上DF=PD，則可判斷四邊形PEFD為菱形；

（2）與（1）中②的證明方法一樣可得到四邊形PEFD為菱形．

試題解析：（1）①作PM⊥DG于M，如圖1，

∵PD=PG，

∴MG=MD，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴PCDM為矩形，

∴PC=MD，

∴DG=2PC；

②∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=AB，

∵四邊形ABPM為矩形，

∴AB=PM，

∴AD=PM，

∵DF⊥PG，

∴∠DHG=90°，

∴∠GDH+∠DGH=90°，

∵∠MGP+∠MPG=90°，

∴∠GDH=∠MPG，

在△ADF和△MPG中， ,

∴△ADF≌△MPG（ASA），

∴DF=PG，

而PD=PG，

∴DF=PD，

∵線段PG繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE，

∴∠EPG=90°，PE=PG，

∴PE=PD=DF，

而DF⊥PG，

∴DF∥PE，

即DF∥PE，且DF=PE，

∴四邊形PEFD為平行四邊形，

∵DF=PD，

∴四邊形PEFD為菱形；

（2）解：四邊形PEFD是菱形．理由如下：

作PM⊥DG于M，如圖2，

與（1）一樣同理可證得△ADF≌△MPG，

∴DF=PG，

而PD=PG，

∴DF=PD，

∵線段PG繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE，

∴∠EPG=90°，PE=PG，

∴PE=PD=DF

而DF⊥PG，

∴DF∥PE，

即DF∥PE，且DF=PE，

∴四邊形PEFD為平行四邊形，

∵DF=PD，

∴四邊形PEFD為菱形．