Question

如圖，梯形中，∥，，，．動點從點出發，以每秒個單位長度的速度在線段上運動；動點同時從點出發，以每秒個單位長度的速度在線段上運動．以為邊作等邊△，與梯形在線段的同側．設點、運動時間為，當點到達點時，運動結束．

（1）當等邊△的邊恰好經過點時，求運動時間的值；

（2）在整個運動過程中，設等邊△與梯形的重合部分面積為，請直接寫

出與之間的函數關系式和相應的自變量的取值范圍；

（3）如圖，當點到達點時，將等邊△繞點旋轉()，

直線分別與直線、直線交于點、．是否存在這樣的，使△為等腰三角形？

若存在，請求出此時線段的長度；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）t=4s（2）（3）存在。

【解析】

試題分析：（1）當EG經過點A時　∴△EGF為等邊三角形∴∠AEF＝60⁰＝∠B+∠BAE

∴∠BAE＝∠B＝30⁰∴BE＝AE＝t＝EF∴此時G與A,重合

∴在Rt△BAF中2t?cos30⁰=4　　　 解得t=4s           

（2）     .

（3）存在；①當M點在線段CD上時，△DMN為等腰三角形

當MD＝MN此時：∠C＝∠1＝∠N=∠CDN＝30⁰

∴ME＝MC

作MH⊥CE

EH=

∴

∴DM=

當D＝D時

此時

D＝，不存在

當ND＝NM時，則∠NDM＝∠DMN＝30⁰，則M不在線段CD上. ∴舍

②當M在CD延長線上時當N₁D=N₁M₁時∠1＝∠M₁,又∠1＝∠2

∴∠2＝∠∴EM₁=CE=

過E作EH⊥CM₁則CM₁=2CH=2×CE?cos30⁰=

∴DM₁=

當DM₂=DN₂時可知CM₂=CE=；∴DM₂=

當M₃D=M₃N時此時∠M₂N₂D=∠1=30°

∴此時：∠M₃EC=30⁰

則M不在CD延長線上∴舍去

③當M在DC延長線上時

∵∠D為150⁰∴△DMN為等腰△時只有DM＝DN

則：∠N＝∠1＝∠2＝∠M

∴CE＝CM＝∴DM＝4

綜上所述DM的長為：    

考點：動點問題

點評：本題難度較大，需要學生審題后通過動點在各范圍內求出所對應函數式，再分情況具體分析，在分析過程中應抓住“動中有靜”，即點移動過程中還會有一個量保持不變。此類題型多為中考的壓軸題。