Question

【題目】（1）△ABC和△CDE是兩個等腰直角三角形，如圖1，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，連結AD、BE，求證：△ACD≌△BCE．

（2）△ABC和△CDE是兩個含30°的直角三角形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，CD＜AC，△CDE從邊CD與AC重合開始繞點C逆時針旋轉一定角度α（0°＜α＜180°）；

①如圖2，DE與BC交于點F，與AB交于點G，連結AD，若四邊形ADEC為平行四邊形，求的值；

②若AB＝10，DE＝8，連結BD、BE，當以點B、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）① ；②BE的長為﹣2+或．

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，證出∠ACD＝∠BCE，由SAS得出△ACD≌△BCE即可；

（2）①連接CG，由平行四邊形的性質得出∠ADE+∠CED＝180°，證出∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝90°，A、D、G、C四點共圓，由圓周角定理得出∠AGC＝∠ADC＝90°，由直角三角形的性質得出CG＝ AC，AG＝ CG，CG＝BG，即可得出結果；

②分三種情況：

當∠BED＝90°時，證明△ACD∽△BCE，得出＝，得出AD＝BE，證出A、D、E共線，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

當∠DBE＝90°時，作CF⊥AB于F，由勾股定理得出DF＝，得出AD＝，即可得出BE的長；

當∠BDE＝90°時，作BG⊥CD于G，設DG＝x，則CG＝4﹣x，BG＝x，在Rt△BCG中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

（1）證明：∵△ABC和△CDE是兩個等腰直角三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中， ，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）解：①連接CG，如圖2所示：

∵四邊形ADEC為平行四邊形，

∴AD∥CE，

∴∠ADE+∠CED＝180°，

∵∠CED＝90°﹣∠CDE＝90°﹣30°＝60°，

∴∠ADE＝120°，

∴∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝90°，

∵∠CAB＝∠CDE＝30°，

∴A、D、G、C四點共圓，

∴∠AGC＝∠ADC＝90°，

∵∠CAB＝30°，

∴CG＝AC，AG＝CG，∠BCG＝30°，

∴CG＝BG，即BG＝ CG，

∴ ＝3；

②分三種情況：

當∠BED＝90°時，如圖3所示：

∵△ABC和△CDE是兩個含30°的直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，

∴∠ACD＝∠BCE，，

∴△ACD∽△BCE，

∴＝，

∴AD＝BE，

∴∠ADC＝∠BEC＝90°+∠CED＝90°+60°＝150°，

∵∠CDE＝30°，

∴∠CDE+∠ADC＝180°，

∴A、D、E共線，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，

即（BE+8）2+BE2＝102，

解得：BE＝﹣2± （負值舍去），

∴BE＝﹣2+；

當∠DBE＝90°時，如圖4所示：

作CF⊥AB于F，則∠BCF＝30°，

∴BF＝BC，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，

∴BC＝AB＝5，CEDE＝4，

∴CD＝CE＝4，

∴BF＝BC＝，

∴CF＝BF＝ ，

∴DF＝，

∵AB＝AD+DF+BF，

∴AD＝10﹣，

∴BE＝；

當∠BDE＝90°時，如圖5所示：

作BG⊥CD于G，

則∠BDG＝∠BDE﹣∠CDE＝60°，

∴∠DBG＝30°，

∴BD＝2DG，BG＝DG，

設DG＝x，則CG＝4﹣x，BG＝x，

在Rt△BCG中，由勾股定理得：CG2+BG2＝BC2，

即（4﹣x）2+（x）2＝52，

整理得：4xx+23＝0，

∵△＝（﹣8）2﹣4×4×23＜0，

∴此方程無解；

綜上所述，當以點B、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，BE的長為﹣2+ 或．