Question

【題目】有兩張完全重合的矩形紙片，將其中一張繞點A順時針旋轉90°后得到矩形AMEF（如圖1），連接BD，MF，若BD＝16cm，∠ADB＝30°．

（1）試探究線段BD 與線段MF的數量關系和位置關系，并說明理由；

（2）把△BCD 與△MEF 剪去，將△ABD繞點A順時針旋轉得△AB1D1，邊AD1交FM 于點K（如圖2），設旋轉角為β（0°＜β＜90°），當△AFK 為等腰三角形時，求β的度數；

（3）若將△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如圖3），F2M2與AD交于點P，A2M2與BD交于點N，當NP∥AB時，求平移的距離．

Answer 1

【答案】（1）BD＝MF，BD⊥MF．理由見解析；（2）β的度數為60°或15°；（3）平移的距離是（12﹣4）cm．

【解析】

（1）延長FM交BD于點N，由旋轉的性質得△BAD≌△MAF，推出BD＝MF，∠ADB＝∠AFM，進而可得∠DNM＝90°；

（2）分兩種情形討論：①當AK＝FK時，②當AF＝FK時，根據旋轉的性質求解即可；

（3）平移的距離是A2A的長度，在矩形PNA2A中，A2A＝PN，求出PN的長度即可，用△DPN∽△DAB得出對應線段成比例，即可得到A2A的大小．

解：（1）結論：BD＝MF，BD⊥MF．

理由：如圖1，延長FM交BD于點N，

由題意得：△BAD≌△MAF，

∴BD＝MF，∠ADB＝∠AFM，

又∵∠DMN＝∠AMF，

∴∠ADB+∠DMN＝∠AFM+∠AMF＝90°，

∴∠DNM＝90°，

∴BD⊥MF；

（2）如圖2，

①當AK＝FK時，∠KAF＝∠F＝30°，

則∠BAB1＝180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，

即β＝60°；

②當AF＝FK時，∠FAK＝（180°﹣∠F）＝75°，

∴∠BAB1＝90°﹣∠FAK＝15°，

即β＝15°；

綜上所述，β的度數為60°或15°；

（3）如圖3，

由題意得矩形PNA2A，設A2A＝x，則PN＝x，

在Rt△A2M2F2中，∵F2M2＝FM＝16，∠A2F2M2＝∠ADB＝30°，

∴A2M2＝8，A2F2＝8，

∴AF2＝8﹣x，

∵∠PAF2＝90°，∠PF2A＝30°，

∴AP＝AF2tan30°＝8﹣x，

∴PD＝AD﹣AP＝8﹣8+x，

∵NP∥AB，

∴△DPN∽△DAB，

∴，

∴，

解得x＝12﹣4，即A2A＝12﹣4，

∴平移的距離是（12﹣4）cm．