Question

長方形ABCD中，AB=1，AD=

3

，以點(diǎn)B為圓心，BA長為半徑作圓交BC于點(diǎn)E．在弧AE上找一點(diǎn)P，使過點(diǎn)P的⊙B的切線平分長方形的面積．設(shè)此切線交AD于點(diǎn)S，交BC于點(diǎn)T，則ST的長為

 

．

Answer 1

分析：連接BD，由AB=1，AD=

3

，得到BD=2，則BD與弧AE的交點(diǎn)為BD的中點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過P作⊙B的切線平分長方形，則BD⊥ST，且PT=PS，而PT=

3

3

BP=

3

3

，得到ST=

2 3

3

．

解答：解：連接BD，∵AB=1，AD=

3

，
∴BD=2，
而AB=1，
∴BD與弧AE的交點(diǎn)為BD的中點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過P作⊙B的切線平分長方形，如圖，

∴BD⊥ST，且PT=PS，
∵PT=

3

3

BP=

3

3

，
∴ST=

2 3

3

．
故答案為：

2 3

3

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓心與切點(diǎn)的連線垂直切線；過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長相等．也考查了長方形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．