Question

【題目】如圖，P是等腰直角△ABC外一點，把BP繞直角頂點BB順時針旋轉90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，則PB：P′A的值為 ．

Answer 1

【答案】1：2
【解析】解：如圖，連接AP， ∵BP繞點B順時針旋轉90°到BP′，
∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，
∴∠ABP=∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
∵ ，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），
∴AP=P′C，
∵P′A：P′C=1：3，
∴AP=3P′A，
連接PP′，則△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′= PB，
∵∠AP′B=135°，
∴∠AP′P=135°﹣45°=90°，
∴△APP′是直角三角形，
設P′A=x，則AP=3x，
根據勾股定理，PP′= = =2 x，
∴PP′= PB=2 x，
解得PB=2x，
∴P′A：PB=x：2x=1：2．
故答案是：1：2．

【考點精析】通過靈活運用等腰直角三角形和旋轉的性質，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了即可以解答此題．