Question

【題目】如圖1在平面直角坐標系中，、，滿足，為的中點，是線段上一動點，是軸正半軸上一點，且，于．

（1）求的度數；

（2）如圖2，設，當點運動時，的值是否變化？若變化，說明理由；若不變，請求的值；

（3）如圖3，設，若，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）∠OAB=45°；（2）PE的值不變．理由見解析；（3）D(66，0)．

【解析】

（1）根據非負數的性質即可求得a，b的值，從而得到△AOB是等腰直角三角形，據此即可求得；
（2）根據等腰三角形的性質以及三角形的外角的性質可以得到∠POC=∠DPE，即可證得△POC≌△DPE，則OC=PE，OC的長度根據等腰直角三角形的性質可以求得；
（3）利用等腰三角形的性質，以及外角的性質證得∠POC=∠DPE，即可證得△POC≌△DPE，根據全等三角形的對應邊相等，即可求得OD的長，從而求得D的坐標．

（1）根據題意得：

，
解得：a=b=3，
∴OA=OB，
又∵∠AOB=90°
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°．
（2）PE的值不變．理由如下：
∵△AOB為等腰直角三角形，且AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC=45°
又∵OC⊥AB于C，
∵PO=PD
∴∠POD=∠PDO
當P在BC上時，
∵∠POD=45°+∠POC，∠PDO=45°+∠DPE，
∴∠POC=∠DPE
在△POC和△DPE中，
,
∴△POC≌△DPE，
∴OC=PE
又OC＝AB＝3
∴PE=3；
當P在AC上時，∠POD=45°-∠POC，∠PDO=45°-∠DPE，
則∠POC=∠DPE．
同理可得PE=3；
（3）∵OP=PD，
∴∠POD=∠PDO= =67.5°，
則∠PDA=180°-∠PDO=180°-67.5°=112.5°，
∵∠POD=∠A+∠APD，
∴∠APD=67.5°-45°=22.5°，
∴∠BPO=180°-∠OPD-∠APD=112.5°，
∴∠PDA=∠BPO
則在△POB和△DPA中，
，
∴△POB≌△DPA（AAS）．
∴PA=OB=3，
∴DA=PB=6-3，
∴OD=OA-DA=3-（6-3）=6-6
∴D(66，0)．