Question

【題目】如圖所示，動點A，B同時從原點O出發，運動的速度都是每秒1個單位，動點A沿x軸正方向運動，動點B沿y軸正方向運動，以OA，OB為鄰邊建立正方形OACB，拋物線y=﹣x2+bx+c經過B，C兩點，假設A，B兩點運動的時間為t秒：
根據
（1）直接寫出直線OC的解析式；
（2）當t=3秒時，求此時拋物線的解析式；此時拋物線上是否存在一點D，使得S△BCD=6？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由；
（3）在（2）的條件下，有一條平行于y軸的動直線l，交拋物線于點E，交直線OC于點F，若以O、B、E、F四個點構成的四邊形是平行四邊形，求點F的坐標；
（4）在動點A、B運動的過程中，若正方形OACB內部有一個點P，且滿足OP= ，CP=2，∠OPA=135°，直接寫出此時AP的長度．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形OABC是正方形，

∴∠AOC=45°，

∴直線OC的解析式為y=x

（2）解：∵t=3秒，

∴OA=OB=3，

∴點B（0，3），C（3，3），

將點B、C代入拋物線得， ，

解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+3x+3，

設BC邊上的高為h，

∵BC=OA=3，S△BCD=6，

∴h=4，

∴點D的縱坐標為3﹣4=﹣1，

令y=﹣1，則﹣x2+3x+3=﹣1，

整理得，x2﹣3x﹣4=0，

解得x1=﹣1，x2=4，

所以，D1（﹣1，﹣1），D2（4，﹣1）

（3）解：∵OB=3，

∴EF=3，

設E（m，﹣m2+3m+3），F（m，m），

若E在F上方，則，﹣m2+3m+3﹣m=3，

整理得，m2﹣2m=0，

解得m1=0（舍去），m2=2，

∴F1（2，2），

若F在E上方，則，m﹣（﹣m2+3m+3）=3，

整理m2﹣2m﹣6=0，

解得m1=1﹣ ，m2=1+ ，

∴F2（1﹣ ，1﹣ ），

F3（1+ ，1+ ）

（4）解：如圖，將△AOP繞點A逆時針旋轉90°得到△AP′C，

由旋轉的性質得，AP′=AP，P′C=OP= ，∠AP′C=∠OPA=135°，

∵△APP′是等腰直角三角形，

∴∠AP′P=45°，

∴∠PP′C=135°﹣45°=90°，

由勾股定理得，PP′= = = ，

所以，AP= PP′= × =1．

【解析】（1）由正方形的性質得出∠AOC=45°。易得直線OC的解析式為y=x.
（2）根據已知求出點B、C兩點的坐標，用待定系數法就可以求出二次函數的解析式。設BC邊上的高為h，根據三角形的面積求出h的值，即可求出點D的縱坐標，將點D的縱坐標代入函數解析式就可以 求出點D的坐標。
（3）已知O、B、E、F四個點構成的四邊形是平行四邊形，則有OB=EF=3，點E在拋物線上，點F在直線y=x上，分兩種情況：點E在點F的上方；點E在點F的下方，設出點E、F的坐標，根據OB=EF，建立方程求解，即可求出點F的坐標。
（4）此題用旋轉的知識來解答。將△AOP繞點A逆時針旋轉90°得到△AP′C，易證明APP′是等腰直角三角形，再求出∠PP′C=90°，利用勾股定理就可以求出AP的長。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對平行四邊形的性質的理解，了解平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．