Question

【題目】如圖，已知拋物線分別交x軸、y軸于點A(2，0)、B(0，4)，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交拋物線于點D．

(1)若．

①求拋物線的解析式；

②當線段PD的長度最大時，求點P的坐標；

(2)當點P的橫坐標為1時，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ①y=－2x2+2x+4；②P的坐標是(1，2)； (2)見解析.

【解析】

（1）①把A、B的坐標代入拋物線解析式，由a+b=0，解方程組即可得出結論；

②設直線AB的解析式為，把A的坐標代入即可求出k的值，從而得到直線AB的解析式．設P點坐標為（m，﹣2m+4），則D（m，－2m2+2m+4），可表示出PD的長，利用二次函數的性質即可得出結論；

（2）如圖2，利用勾股定理計算出AB的長，再求出P的坐標，則可計算出PB的長，接著表示出拋物線解析式為y＝ax2﹣2（a+1）x+4，則可用a表示出點D坐標為（1，2﹣a），所以PD＝﹣a，由于∠DPB＝∠OBA，根據相似三角形的判定方法，當時，△PDB∽△BOA，即；當時，△PDB∽△BAO，即，然后解方程分別求出a的值，從而得到對應的拋物線的解析式．

（1）①把A（2，0）、B（0，4）代入得：．

∵a+b=0，∴

∴，∴拋物線的解析式為y=－2x2+2x+4；

②設直線AB的解析式為，則，∴，∴直線AB的解析式為．

設P點坐標為（m，﹣2m+4），則D（m，－2m2+2m+4），∴PD=﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m2+4m，∴當時，線段PD的長度最大，此時點P的坐標是（1，2）．

（2）存在．

如圖2，OB=4，OA=2，則AB==2．

當x=1時，y=﹣2x+4=2，則P（1，2），∴PB==．

把A（2，0）代入y=ax2+bx+4得4a+2b+4=0，解得：b=－2a－2，∴拋物線的解析式為y=ax2－2（a+1）x+4．

當x=1時，y=ax2－2（a+1）x+4=a－2a－2+4=2－a，則D（1，2－a），∴PD=2－a－2=﹣a．

∵DC∥OB，∴∠DPB=∠OBA．

當時，△PDB∽△BOA，即，解得：a=－2，此時拋物線解析式為y=－2x2+2x+4；

當時，△PDB∽△BAO，即，解得：a=－，此時拋物線解析式為y=－x2+3x+4．

綜上所述：滿足條件的拋物線的解析式為y=﹣2x2+2x+4或y=－x2+3x+4．