Question

【題目】已知在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°．

（1）如圖1，若BE平分∠ABC，DF平分∠ADC的鄰補角，請寫出BE與DF的位置關系，并證明．

（2）如圖2，若BF、DE分別平分∠ABC、∠ADC的鄰補角，判斷DE與BF位置關系并證明．

（3）如圖3，若BE、DE分別六等分∠ABC、∠ADC的鄰補角（即∠CBE=∠CBM，∠CDE=∠CDN），則∠E= ．

Answer 1

【答案】(1)；(2)∥；(3)60O

【解析】

（1）如圖1中，延長BE交FD的延長線于H．想辦法證明∠DEH+∠EDH=90°即可；

（2）如圖2中，連接BD，只要證明∠EDB+∠FBD=180°即可；

（3）利用結論：∠DCB=∠E+∠CBE+∠CDE即可解決問題；

解：（1）結論：BE⊥DF；

理由：如圖1中，延長BE交FD的延長線于H．

∵∠A=∠C=90°，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∵∠ADC+∠CDN=180°，

∴∠ABC=∠CDN，

∵∠ABE=∠ABC，∠FDN=∠EDH=∠CDN，

∴∠ABE=∠EDH，

∵∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB=∠DEH，

∴∠DEH+∠EDH=90°，

∴∠H=90°，

即BE⊥DF．

（2）結論：DE∥BF；

理由：如圖2中，連接BD．

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠MBC+∠ABC=180°，∠CDN+∠ADC=180°，

∴∠MBC+∠CDN=180°，

∵∠CBF=∠MBC，∠CDN=∠CDN，

∴∠CBF+∠CDE=90°，

∵∠C=90°，

∴∠CBD+∠CDB=90°，

∴∠EDB+∠FBD=∠CBF+∠CDE+∠CBD+∠CDB=180°，

∴DE∥BF．

（3）如圖3中，

∵∠MBC+∠CDN=180°，

∴∠CDE+∠CBE=（∠MBC+∠CDN）=30°，

∵∠DCB=∠E+∠CBE+∠CDE，

∴∠E=90°-30°=60°．

故答案為60°．