Question

（2010•江北區(qū)模擬）如圖，直線與x軸、y軸交于A、B兩點，且OA=OB=1，點P是反比例函數(shù)圖象在第一象限的分支上的任意一點，P點坐標為（a，b），由點P分別向x軸，y軸作垂線PM、PN，垂足分別為M、N；PM、PN分別與直線交于點E，點F．
（1）設(shè)交點E、F都在線段AB上，分別求出點E、點F的坐標；（用含a的代數(shù)式表示）
（2）△AOF與△BOE是否一定相似？如果一定相似，請予以證明；如果不一定相似或一定不相似，請簡短說明理由；
（3）當點P在曲線上移動時，△OEF隨之變動，指出在△OEF的三個內(nèi)角中，大小始終保持不變的那個角和它的大小，并證明你的結(jié)論；
（4）在雙曲線上是否存在點P，使點P到直線AB的距離最短的點，若存在，請求出點P的坐標及最短距離；若不存在，說明理由

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，把A（1，0），B（0，1）代入y=kx+b，運用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式，由點P（a，b）是反比例函數(shù)圖象上的點，得出，又點E的橫坐標為a，點F的縱坐標為b即，分別把x=a，y=代入直線EF的解析式，即可求出對應(yīng)的值，從而得出結(jié)果；
（2）在△BOE與△AOF中，由于∠OBA=∠OAB=45°，根據(jù)相似三角形的判定，可分別計算BE：OB與OA：AF的值，如果它們相等，那么△AOF∽△BEO，否則，就不相似；
（3）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個外角的和得出∠FOE=∠EAO=45°；
（4）假設(shè)在雙曲線上存在點P，使點P到直線AB的距離最短．那么平行于AB的直線y=-x+m應(yīng)與雙曲線相切，即方程有兩個相等的實數(shù)根，根據(jù)判別式△=0求出m的值，從而確定點P的坐標，進而得到點P到直線AB的最短距離．
解答：解：（1）設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，
由題知A（1，0），B（0，1），
把A（1，0），B（0，1）代入y=kx+b，
得k+b=0，b=1，
解得k=-1，b=1．
∴y=-x+1．
∵點P（a，b）是反比例函數(shù)圖象上的點，
∴．
∴E（a，1-a），F(xiàn)；

（2）△AOF與△BOE一定相似．
理由如下：
∵OA=OB=1，
∴，∠OBA=∠OAB=45°，
∴，，
∴，，
∴=OA•OB=1，
∴，
又∵∠OBA=∠OAB=45°，
∴△AOF∽△BEO；

（3）∠FOE=45°，角度始終不變．
理由如下：
∵△AOF∽△BEO，
∴∠FOA=∠OEB，
∴∠FOE+∠EOA=∠EOA+∠EAO，
得∠FOE=∠EAO=45°；

（4）設(shè)平行于直線AB的直線解析式為y=-x+m，
解方程，
化簡得2x²-2mx+1=0，
當△=0時，解得（負值舍去）．
所以，解得．
所以點P的坐標為．
∴點P到直線AB的距離最短為．
點評：本題主要考查了運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定及性質(zhì)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的關(guān)系，通過解方程求交點坐標等知識．綜合性強，有一定難度．