Question

【題目】如圖1，直線分別與軸交于兩點，過點的直線交軸負半軸于，且.

(1)求直線的函數表達式:

(2)如圖2, 為軸上點右側的一動點，以為直角頂點，為一腰在第一象限內作等腰直角三角形,連接并延長交軸于點.當點運動時，點的位置是否發生變化?如果不變請求出它的坐標:如果變化，請說明理由.

(3)直線交于,交于點，交軸于,是否存在這樣的直線,使得?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=3x+6；（2）K點的位置不發生變化，K（0，-6）；（3）存在，k=

【解析】

（1）設BC的解析式是y=ax+c，由直線AB：y=-x-b過A（6，0），可以求出b，因此可以求出B點的坐標，再由已知條件可求出C點的坐標，把B，C點的坐標分別代入求出a和c的值即可；
（2）不變化，過Q作QH⊥x軸于H，首先證明△BOP≌△PHQ，再分別證明△AHQ和△AOK為等腰直角三角形，問題得解；
（3）過E、F分別作EM⊥x軸，FN⊥x軸，則∠EMD=∠FND=90°，由題目的條件證明△NFD≌△EDM，進而得到FN=ME，分別聯立直線、直線AB和，求出交點E和F的縱坐標，再利用等底等高的三角形面積相等即可求出k的值

解：（1）直線分別與x，y軸交于A（6，0）、B兩點，
∴0=-6-b，
∴b=-6，
∴直線AB的解析式為：y=-x+6．
∴B（0，6），
∴OB=6，
∵，
∴OC=OB=2，

∴C（-2，0），
設BC的解析式是y=ax+c，
∴

∴，
∴直線BC的解析式是：y=3x+6；
（2）K點的位置不發生變化，K（0，-6）．如圖2，過Q作QH⊥x軸于H，

∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ=90°，PB=PQ，
∵∠BOA=∠QHA=90°，
∴∠BPO=∠PQH，
在△BOP與△PHQ中，
，
∴△BOP≌△PHQ（AAS），
∴PH=BO，OP=QH，
∴PH+PO=BO+QH，
即OA+AH=BO+QH，
又∵OA=OB，
∴AH=QH，
∴△AHQ是等腰直角三角形，
∴∠QAH=45°，
∴∠OAK=45°，
∴△AOK為等腰直角三角形，
∴OK=OA=6，
∴K（0，-6）；
（3）如圖1，過E、F分別作EM⊥x軸，FN⊥x軸，則∠EMD=∠FND=90°．

∵S△EBD=SFBD，
∴DE=DF．
又∵∠NDF=∠EDM，
在△NFD與△MED中，

，
∴△NFD≌△MED（AAS），
∴FN=EM．
解方程組得E點的縱坐標yE=，
解方程組得F點的縱坐標yF=，
∵FN=-yF，ME=yE，
∴k=；
當k=時，存在直線，使得S△EBD=S△FBD．