Question

【題目】如圖，反比例函數y=（x＞0）的圖象與直線AB交于點A（2，3），直線AB與x軸交于點B（4，0），過點B作x軸的垂線BC，交反比例函數的圖象于點C，在平面內存在點D，使得以A，B，C，D四點為頂點的四邊形為平行四邊形，則點D的坐標是______．

Answer 1

【答案】（2，）或（2，）或（6，-）

【解析】

先將A點的坐標代入反比例函數求得k的值，然后將x=4代入反比例函數解析式求得相應的y的值，即得點C的坐標；然后結合圖象分類討論以A、B、C、D為頂點的平行四邊形，如圖所示，找出滿足題意的D的坐標即可．

解：把點A（2，3）代入y=（x＞0）得：k=xy=6，

故該反比例函數解析式為：y=．

∵點B（4，0），BC⊥x軸，

∴把x=4代入反比例函數y=，得

y=．

則C（4，）．

①如圖，當四邊形ACBD為平行四邊形時，AD∥BC且AD=BC．

∵A（2，3）、B（4，0）、C（4，），

∴點D的橫坐標為2，yA-yD=yC-yB，故yD=．

所以D（2，）．

②如圖，當四邊形ABCD′為平行四邊形時，AD′∥CB且AD′=CB．

∵A（2，3）、B（4，0）、C（4，），

∴點D的橫坐標為2，yD′-yA=yC-yB，故yD′=．

所以D′（2，）．

③如圖，當四邊形ABD″C為平行四邊形時，AC=BD″且AC∥BD″．

∵A（2，3）、B（4，0）、C（4，），

∴xD″-xB=xC-xA即xD″-4=4-2，故xD″=6．

yD″-yB=yC-yA即yD″-0=-3，故yD″=-．

所以D″（6，-）．

綜上所述，符合條件的點D的坐標是：（2，）或（2，）或（6，-）．

故答案為（2，）或（2，）或（6，-）．