Question

如圖，以矩形OCPD的頂點O為原點,它的兩條邊所在的直線分別為x軸和y軸建立直角坐標系.以點P為圓心, PC為半徑的⊙P與x軸的正半軸交于A、B兩點,函數y=ax²+bx+4過A，B，C三點且AB=6.
 
⑴求⊙P的半徑R的長；
⑵若點E在y軸上，且△ACE是等腰三角形，試寫出所有點E的坐標；

Answer 1

（1）；（2），，，

試題分析：（1）在函數y=ax²+bx+4中令x=0，解得y=4，則OC=PD=4，連接PA，在直角三角形△PAD中，根據勾股定理就可以得到PA的長．即圓的半徑；
（2）根據等腰三角形的性質，把AC分別看作底和腰進行討論.
（1）如圖，連接AP

∵四邊形ODPC為矩形
∴PD⊥AB
∴AD=BD=AB=3
又∵拋物線y=ax²+bx+4經過A，B，C三點
∴C（0，4）
即OC=4
∴PD=OC=4
∴由勾股定理得AP=5
∴⊙P的半徑R的長為5；
（2）由（1）得OA=2，OC=4，則，
∵△ACE是等腰三角形，
∴，，，
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧.