Question

【題目】如圖，已知正方形的邊長為，為邊上一點，＝．

（1）請直接寫出AE的長是________；

（2）如圖（1），若為邊上的點，與相交于點，且＝．求證：；

（3）如圖（2），若為的中點，過點作直線分別與，相交于點、，且＝．請畫出示意圖并求出長度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）圖見解析，2或3

【解析】

（1）根據正方形性質、勾股定理和含銳角的直角三角形性質即可得到結論；

（2）根據正方形性質和題目條件可證明，進而可得；

（3）分兩種情況畫出示意圖（2）和（3），在圖（2）中，根據正方形性質可先證明：四邊形為平行四邊形，再利用勾股定理即可求得，在圖（3）中，先證明，再利用勾股定理和等腰三角形性質即可求得．

解：（1）（1）四邊形為正方形，

，

（2）如圖，∵ 四邊形為正方形，

∴ ＝，＝＝，

在和中，

∴ ，

∴ ＝＝

∵ ＝

∴ ＝

∴ ＝

∴ ；

（3）當如圖（2）時，過作，交于點，

∵ 四邊形為正方形，

∴ ＝，，

∴ 四邊形為平行四邊形，

∴ ＝

∵ ＝

∴ ＝

由（2）可得：，

∴ ，

∴ ＝

∵ 為的中點，

∴ ，

設＝，在中，＝，

∴ ＝＝，

根據勾股定理得：＝，即，

∵

∴ ＝，

∴ ＝＝；

當如圖時，過作，交于點，交于點，

同理可證：，

∴ ＝＝

∴ ＝＝

∴ ＝

在中，＝，

∴ ＝，

∴ ＝

∴ ，

根據勾股定理得：＝

綜上可知，的長等于或．