Question

（2003•山西）如圖，已知圓心A（0，3），⊙A與x軸相切，⊙B的圓心在x軸的正半軸上，且⊙B與⊙A外切于點P，兩圓的公切線MP交y軸于點M，交x軸于點N．
（1）若sin∠OAB=，求直線MP的解析式及經過M、N、B三點的拋物線的解析式．
（2）若⊙A的位置大小不變，⊙B的圓心在x軸的正半軸上移動，并使⊙B與⊙A始終外切，過M作⊙B的切線MC，切點為C，在此變化過程中探究：
①四邊形OMCB是什么四邊形，對你的結論加以證明．
②經過M、N、B三點的拋物線內是否存在以BN為腰的等腰三角形？若存在，表示出來；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了A的坐標可得出圓A的半徑，在直角三角形OAB中，可根據OA的長和∠OAB的正弦值求出AB和OB的長，進而可得出圓B的半徑長．也就求出了B點、M點的坐標．
根據相似三角形BPN和BOA可求出BN的長，進而可求出ON的長，也就得出了N點的坐標，可根據M、N、B三點的坐標，用待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）①應該是矩形，不難得出△OAB和△PAM全等，那么OB=MP，AM=AB（也可通過圓A的半徑長和∠OAB的正切值來求出），由于MP、MC都是圓B的切線，根據切線長定理可得出MP=MC=OB，而OM=BC=AM-OA=AB-AP，由此可得出四邊形OBCM是平行四邊形．由于∠BOM是直角，因此四邊形OBCM是矩形．
②存在，根據①不難得出BN=MN，而M點也在拋物線上，根據拋物線的對稱性可知，點M關于拋物線對稱軸對稱的點Mn也一定符合這樣的條件．因此滿足條件的三角形有兩個，△MNB和△MnNB．
解答：解：（1）在Rt△AOB中，∵OA=3，sin∠OAB=，
∴cos∠OAB=，
∴AB=5，OB=4，BP=5-3=2，
在Rt△APM中，=cos∠OAB=，
∴AM=5，OM=2，
點M（0，-2），
又△NPB∽△AOB
∴=，BN=
∴ON=OB-BN=4-=
∴點N（，0）
設MP的解析式為y=kx+b，
∵MP經過M、N兩點，
∴得，
解得，
∴MP的解析式為y=x-2．
設過M、N、B的拋物線解析式為y=a（x-）（x-4），
且點M（0，-2），可得a=-，
∴拋物線的解析式為y=-（x-）（x-4），
即y=-x²+x-2．

（2）①四邊形OMCB是矩形．
證明：在⊙A不動、⊙B運動變化過程中，
恒有∠BAO=∠MAP，OA=AP，∠AOB=∠APM=90°，
∴△AOB≌△APM，
∴OB=PM，AB=AM，
∴PB=OM，而PB=PC，
∴OM=BC
由切線長定理知MC=MP，
∴MC=OB，
∴四邊形MOBC是平行四邊形．
又∵∠MOB=90°，
∴四邊形MOBC是矩形．
②存在．由上證明可知Rt△MON≌Rt△BPN，
∴BN=MN
因此在過M、N、B三點的拋物線內有以BN為腰的等腰三角形MNB存在
由拋物線的軸對稱性可知，在拋物線上必有一點Mn與M關于其對稱軸對稱，
∴BN=BMn
這樣得到滿足條件的三角形有兩個，△MNB和△MnNB．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、三角形全等、矩形的判定、等腰三角形的判定等知識點，綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．