Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線分別交軸，軸于，兩點．點的坐標為，拋物線經過，兩點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖1，是線段上一點，連接，若的值最小，求點坐標；

（3）如圖2，在（2）的前提下，直線與直線的交點為，過點作軸的平行線交拋物線于點，若是拋物線上一點，是軸上一點，是否存在以，，，為頂點且為邊的平行四邊形，若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D點坐標為(0，)；（3）存在，點M的坐標為(，)或(，)或(，)

【解析】

（1）先求得點A的坐標，再將A、C的坐標代入拋物線的表達式即可求解；

（2）過點D作DG⊥AB于G，利用∠OBA的正弦值求得DG=BD，則C、D、G三點共線時，CD+BD的值最小，即可求得D點坐標；

（3）先求得Q點坐標，分CQ為對角線、CM為對角線、CN為對角線三種情況討論即可求解．

（1）令，則，

解得：，

∴點A的坐標為(4，0)，

∵拋物線經過，兩點，

∴將A(4，0)、C(-1，0)的坐標代入得：

，

解得：，

∴拋物線的表達式為：；

（2）令，則，

∴點B的坐標為(0，3)，

∴OA=4，OB=3，

∴,

過點D作DG⊥AB于G，如圖：

∵，

∴DG=BD，

當C、D、G三點共線時，CD+BD的值最小，

∵點C的坐標為(-1，0)，

∴OC=1，

∵，，

∴，

∴，

∴，即，

∴，

∴D點坐標為(0，)；

（3）設直線CD的解析式為：，

將點C(-1，0)的坐標代入得：，

解得：，

∴直線CD的解析式為：，

解方程組得：，

∴P點坐標為(，)；

∵PQ∥y軸，

當時，，

∴Q點坐標為(，)；

當CQ為對角線時，C、Q中點與M、N中點相同，

設M點的橫坐標為，

則，

解得：，

當時，，

∴M點坐標為(，)；

當CM為對角線時，C、M中點與Q、N中點相同，

設M點的橫坐標為，

則，

解得：，

當時，，

∴M點坐標為(，)；

當CN為對角線時，C、N中點與M、Q中點相同，

設M點的橫坐標為，

則，

解得：，

當時，，

∴M點坐標為(，)；

綜上可知，點M的坐標為(，)或(，)或(，)