Question

【題目】已知二次函數（a＞0）的圖象與x軸的負半軸和正半軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C，它的頂點為P，直線CP與過點B且垂直于x軸的直線交于點D，且CP：PD=2：3．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）若tan∠PDB=，求這個二次函數的關系式．

Answer 1

【答案】（1）A（，0）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由二次函數的解析式可求出對稱軸為x=1，過點P作PE⊥x軸于點E，所以OE：EB=CP：PD；

（2）過點C作CF⊥BD于點F，交PE于點G，構造直角三角形CDF，利用tan∠PDB=即可求出FD，由于△CPG∽△CDF，所以可求出PG的長度，進而求出a的值，最后將A（或B）的坐標代入解析式即可求出c的值．

試題解析：（1）過點P作PE⊥x軸于點E，∵，∴該二次函數的對稱軸為：x=1，∴OE=1，∵OC∥BD，∴CP：PD=OE：EB，∴OE：EB=2：3，∴EB=，∴OB=OE+EB=，∴B（，0）．∵A與B關于直線x=1對稱，∴A（，0）；

（2）過點C作CF⊥BD于點F，交PE于點G，令x=1代入，∴y=c﹣a，令x=0代入，∴y=c，∴PG=a，∵CF=OB=，∴tan∠PDB=，∴FD=2，∵PG∥BD，∴△CPG∽△CDF，∴，∴PG=，∴a=，∴，把A（，0）代入，∴解得：c=﹣1，∴該二次函數解析式為：．