Question

（2011•大田縣質檢）如圖，?ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點O，AB=

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，AO=3，BO=1．
（1）求證：AC⊥BD；
（2）求?ABCD的周長．

Answer 1

分析：（1）根據勾股定理的逆定理可知∠AOB=90°，繼而得出AC⊥BD；
（2）根據菱形的判定定理：對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，可知AB=BC=CD=DA，繼而即可求出?ABCD的周長．

解答：解：（1）∵AB=

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，AO=3，BO=1，
∴AB²=10=AO²+BO²=9+1，
∴△AOB為直角三角形，∠AOB=90°，
∴AC⊥BD；
（2）由（1）知AC⊥BD，
又四邊形ABCD為平行四邊形，
∴四邊形ABCD為菱形（對角線互相垂直的平行四邊形為菱形），
∴AB=BC=CD=DA，
∴?ABCD的周長=AB+BC+CD+DA=4AB=4

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．

點評：本題考查菱形的判定與性質及勾股定理的逆定理，解題關鍵是首先根據勾股定理的逆定理得出△AOB為直角三角形，難度一般．