Question

（2011•大田縣質檢）數學興趣小組對二次函數y=ax²+2x+3（a≠0）的圖象進行研究得出一條結論：無論a取任何不為0的實數，拋物線頂點p都在某一條直線上．請你用“特殊-一般-特殊”的數學思想方法進行探究：
（1）完成下表

a的取值	-1	1
頂點p的坐標

并猜想拋物線y=ax²+2x+3（a≠0）頂點p所在直線的解析式；
（2）請對（1）中所猜想的直線解析式加以驗證、在所求的直線上有一個點不是拋物線y=ax²+2x+3（a≠0）的頂點，請你寫出它的坐標；
（3）當a=-1時，則拋物線y=-x²+2x+3的頂點為P，交x軸于點A（3，0），交y軸于點C、試探究在拋物線y=-x²+2x+3上是否存在除點P以外的點E，使得△ACE與△APC的面積相等？若存在，請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把a的值代入拋物線并把解析式整理成頂點式解析式，即可得到頂點坐標；然后利用待定系數法求直線函數解析式求出頂點P所在的直線解析式；
（2）寫出拋物線的頂點坐標，然后消掉參數a整理即可證明；根據頂點坐標的橫坐標，利用分母不等于0求解直線不可以的點的坐標；
（3）過點P作PF⊥y軸于點F，根據點A、C、P的坐標可得∠ACO=45°，∠PCF=45°，然后求出PC⊥AC，再求出點P關于點C的對稱點P′，根據平行線間的距離相等，等底等高的三角形相等可知過點P與AC平行的直線與拋物線的交點即為所求的點E，然后聯立直線與拋物線解析式求解即可．

解答：解：（1）a=-1時，二次函數y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
頂點坐標為（1，4），
a=1時，二次函數y=x²+2x+3=（x+1）²+2，
頂點坐標為（-1，2），
設頂點P所在的直線解析式為y=kx+b，
則

k+b=4 -k+b=2

，
解得

k=1 b=3

，
所以，直線解析式為y=x+3；

（2）根據二次函數y=ax²+2x+3的頂點坐標公式，
x=-

2

2a

=-

1

a

①，
y=

4a×3-4

4a

=3-

1

a

②，
①②聯立消掉a得，y=x+3，
∵分母為0無意義，
∴x≠0，y≠3，
∴點（0，3）不是拋物線的頂點坐標；

（3）存在．
理由如下：如圖，過點P作PF⊥y軸于點F，
當x=0時，y=3，
∴點C的坐標為（0，3），
∵拋物線y=-x²+2x+3的頂點為P（1，4），點A的坐標為A（3，0），
∴△AOC，△PCF都是等腰直角三角形，
∴∠ACO=45°，∠PCF=45°，
∴∠ACP=90°，故PC⊥AC，
根據點的對稱可得點P關于點C的對稱點P′（-1，2），
根據等底等高的三角形的面積相等可得過點P、P′與AC平行的直線與拋物線的交點即為所求的點E，
∵A（3，0），C（0，3），
∴直線AC的解析式為y=-x+3，
又平行直線的解析式的k值相等，
設過點P的直線為y=-x+m，
則-1+m=4，
解得m=5，
所以直線解析式為y=-x+5，
聯立

y=-x+5 y=-x2+2x+3

，
解得

x1=1 y1=4

，

x2=2 y2=3

，
∵點P（1，4），∴點E₁（2，3），
設過點P′的直線為y=-x+n，
則1+n=2，
解得n=1，
所以直線解析式為y=-x+1，
聯立

y=-x+1 y=-x2+2x+3

，
解得

x1= 3+ 17 2 y1= -1- 17 2

，

x1= 3- 17 2 y1= -1+ 17 2

，
所以，點E的坐標為E₂（

3+ 17

2

，

-1- 17

2

），E₃（

3- 17

2

，

-1+ 17

2

），
綜上所述，存在點E₁（2，3），E₂（

3+ 17

2

，

-1- 17

2

），E₃（

3- 17

2

，

-1+ 17

2

），使得△ACE與△APC的面積相等．

點評：本題是二次函數的綜合題型，主要涉及到二次函數的頂點坐標公式，待定系數法求直線函數解析式，等底等高的三角形的面積相等，互相平行的直線的解析式的k值相等，關于點的對稱點的求法，綜合性較強，但難度不大，（2）中利用消參數法消掉字母a得到關于x、y的直線解析式，（3）要注意分點E在直線AC的兩側兩種情況求解．