Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，平行四邊形OABC的頂點A，B的坐標分別為(6，0)，(7，3)，將平行四邊形OABC繞點O逆時針方向旋轉得到平行四邊形OA′B′C′，當點C′落在BC的延長線上時，線段OA′交BC于點E，則線段C′E的長度為________．

Answer 1

【答案】5．

【解析】如圖，過點C作CD⊥OC′于點D．利用旋轉的性質和面積法求得OD=，然后通過解直角三角形推知：tan∠COC′=．結合圖形和旋轉的性質得到∠COC′=∠AOE，自點E向x軸引垂線，交x軸于點F．則EF=3．利用等角的正切值相等tan∠AOE=tan∠COC′=．易求OF的長度，則C′E=O′E+O′C=4+1=5．

解：∵OC=OC′，CC′⊥y軸，A，B的坐標分別為（6，0），（7，3），

∴點C到y軸的距離：7-6=1．

∴O′C=O′C′=1，O點到CC′的距離是3，

∴OD=DC′=，S△OCC′=×2×3=3．

如圖，過點C作CD⊥OC′于點D．

則ODC′D=3，

∴OD=，sin∠COC′=，tan∠COC′=．

∵∠COC′+∠COE=∠AOE+∠COE，

∴∠COC′=∠AOE，

∴tan∠AOE=tan∠COC′=．

自點E向x軸引垂線，交x軸于點F．則EF=3．

∵tan∠AOE=，

∴OF=，

∵OF=O′E=4，

∴C′E=O′E+O′C′=4+1=5．

故答案是：5．

“點睛”本題考查了平行四邊形的性質和旋轉的性質．根據題意作出輔助線是解題的關鍵與難點．